概率

“概率”一词指的是特定事件发生的可能性。 通常可以用一定的概率定量地预测事件的未来，从而确保其正确性。 概率用于试验结果不确定的情况。

概率定义

事件 A 发生的概率，记为 P(A)，定义为

因此，如果一个事件可以通过 m 种方式发生，并且以 n 种方式无法发生，并且 m+n 种方式发生的可能性相同，那么事件 A 发生的概率由下式给出

且 A 不发生的概率为

注意

1. 一个确定会发生的事件的概率为 1。
2. 一个不可能发生的事件的概率为 0。
3. 如果一个事件发生的概率为 P(A)，而不发生的概率为 P(A)，则
               P(A)+ P(A) = 1, 0 ≤ P(A) ≤ 1,0≤ P(A)≤1。

与概率相关的重要术语

1. 试验和事件：进行实验称为试验，其结果的集合称为事件。

示例：抛硬币并得到正面朝上是一次试验。 然后事件是 {HT, TH, HH}

2. 随机试验：这是一种实验，其中实验的所有可能结果都是预先知道的。 但是，任何特定执行的确切结果都是预先未知的。

示例

1. 抛硬币
2. 掷骰子
3. 从一副 52 张牌中抽出一张牌。
4. 从一个袋子里拿出一个球。

3. 结果：随机实验的结果称为结果。

示例：1. 抛硬币是一次实验，得到正面朝上称为结果。
                 2. 掷骰子并得到 6 是一种结果。

4. 样本空间：一个实验的所有可能结果的集合称为样本空间，并用 S 表示。

示例：当掷骰子时，样本空间为 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
                  它包含六个结果 1, 2, 3, 4, 5, 6

注 1：如果骰子被掷 n 次，则结果总数为 6ⁿ。

注 2：如果掷 1 个骰子 n 次，则掷 n 个骰子 1 次。

5. 事件的补集：所有在样本空间中但不是事件的结果的集合称为事件的补集。

6. 不可能发生的事件：永远不会发生的事件。

示例 1：抛双头硬币并得到反面是一个不可能发生的事件。

示例 2：掷骰子并得到数字 > 10 是一种不可能的结果。
                   P (不可能的结果) = 0

7. 确定结果/确定结果：肯定会发生的结果

示例 1：抛双头硬币并且仅得到正面朝上。

示例 2：掷骰子并得到数字 < 6
                   P (确定结果) = 1
                   {1, 2, 3, 4, 5 6} 称为确定事件
                   P (确定结果) = 1

8. 可能结果：有可能发生的结果称为可能结果。

示例 1：抛一枚公平的硬币并得到正面朝上。

示例 2：掷骰子并得到一个奇数。

9. 等可能事件：如果其中一个事件不优先于其他事件发生，则这些事件被称为等可能事件。 换句话说，这意味着每个结果都与其他任何结果一样有可能发生。

示例：掷骰子时，所有六个面，即 1、2、3、4、5 和 6，都同样有可能发生。

10. 互斥或不相交事件：如果事件不能同时发生，则这些事件称为互斥事件。

示例：假设从一副牌中抽出一张牌，那么得到一个杰克和得到一个国王的事件是互斥的，因为它们不能同时发生。

11. 穷尽事件：实验的所有可能结果的总数称为穷尽事件。

示例：在抛硬币时，可能出现正面或反面。 因此，存在两种可能的结果。 因此，抛硬币时存在两个穷尽事件。

12. 独立事件：如果任何一个事件的发生不影响任何其他事件的发生，则事件 A 和 B 被认为相互独立。
                       P (A ∩ B) = P (A) P (B)。

示例：硬币被抛了三次，所有 8 个结果发生的可能性都一样
                 A: “第一次抛掷结果为正面朝上。”
                 B: “最后一次抛掷结果为反面朝上。”

证明事件 A 和 B 是独立的。

解决方案

13. 相关事件：如果一个事件的发生影响另一个事件的发生，则这些事件被称为相关事件。