布尔代数

一个有补分配格被称为布尔代数。 它由 (B, ∧,∨,',0,1) 表示，其中 B 是其上定义了两个二元运算 ∧ (*) 和 ∨(+) 以及一个一元运算（补码）的集合。这里 0 和 1 是 B 的两个不同元素。

由于 (B,∧,∨) 是一个有补分配格，因此 B 的每个元素都有一个唯一的补码。

布尔代数的性质

1. 交换律

      (i)a+b = b+a
      (ii)a*b=b *a

2. 分配律

      (i) a+(b*c)=(a+b)*(a+c)
      (ii)a*(b+c)=(a*b)+(a*c)

3. 恒等律

      (i) a+0=a
      (ii) a *1=a

4. 补码律

      (i) a+a'=1
      (ii)a * a'=0

子代数

考虑一个布尔代数 (B, *, +,', 0,1)，并令 A ⊆ B。那么 (A,*, +,', 0,1) 被称为 B 的子代数或子布尔代数，如果 A 本身是一个布尔代数，即 A 包含元素 0 和 1，并且在运算 *, + 和 ' 下是封闭的。

示例：考虑布尔代数 D₇₀，其 Hasse 图如图所示

显然，A= {1, 7, 10, 70} 并且 B = {1, 2, 35, 70} 是 D₇₀ 的一个子代数。因为 A 和 B 都在运算 ∧,∨ 和 ' 下是封闭的。

注意：布尔代数的子集可以是布尔代数，但它可能不是子代数，因为它可能没有关闭 B 上的运算。

同构-布尔代数

如果存在一个一一对应关系 f: B⟶B₁，它保留了三个运算 +,* 和 ' 对于 B 中的任何元素 a, b，则称两个布尔代数 B 和 B₁ 同构，即
                    f (a+b)=f(a)+f(b)
              f (a*b)=f(a)*f(b) 和 f(a')=f(a)'。

示例：以下是两个具有两个元素的不同的布尔代数，它们是同构的。

1. 第一个布尔代数是从一个幂集 P(S) 派生的，在 ⊆（集合包含）下，即令 S = {a}，那么 B = {P(S), ∪,∩,'} 是一个具有两个元素的布尔代数 P(S) = {∅,{a}}。

2. 第二个布尔代数是 {B, ∨,∧,'}，它有两个元素 1 和 p {这里 p 是一个质数}，在运算除法下，即令 B = {1, p}。所以，我们有 1 ∧ p = 1 且 1 ∨ p = p 以及 1'=p 和 p'=1。

下表显示了布尔代数 (B, *, +, ', 0, 1) 的所有基本性质，适用于 B 中的任何元素 a、b、c。 B 的最大和最小元素分别用 1 和 0 表示。

1. a ≤b 当且仅当 a+b=b                               2. a ≤b 当且仅当 a * b = a
3. 等幂律                                      4. 交换律
    (i)a+b=a                                                (i)a+b=b+a
    (ii) a * a = a                                           (ii)a*b=b*a
5. 结合律                   6. 吸收律
    (i)a+(b+c)=(a+b)+c                             (i)a+(a*b)=a
    (ii)a*(b*c)=(a*b)*c                             (ii)a*(a+b)=a
7. 恒等律                               8. 零律
    (i) a+0=a                                               (i)a*0=0
    (ii) a*1=a                                             (ii)a+1=1
9. 分配律                        10. 补码律
      (i)a*(b+c)=(a*b)+(a*c)                     (i)0'=1
  (ii) a+(b*c) = (a+b)*(a+c)                     (ii)1'=0
                                                                (iii)a+a'=1
                                                                (iv)a*a'=0
11. 对合律                           12. 德摩根定律
    (a')'=a                                                    (i)(a *b)'=(a' +b')
                                                                 (ii) (a+b)'=(a' *b')

注意
1. 对于每个 a ∈ B，0 ≤ a ≤ 1。
2. 每个元素 b 都有一个唯一的补码 b'。

布尔函数

考虑布尔代数 (B, ∨,∧,',0,1)。从 A'' 到 A 的一个函数称为布尔函数，如果一个 n 个变量的布尔表达式可以指定它。

对于二值布尔代数，从 [0, 1]ⁿ 到 [0, 1] 的任何函数都是布尔函数。

示例1：该表显示了从 {0, 1}³ 到 {0, 1} 的函数 f

示例2：该表显示了从 {0, 1, 2, 3}² 到 {0,1,2,3} 的函数 f。

注意：一个函数总是可以用表格形式描述。表达函数的另一种方法是通过表达式指定该函数。