拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理也称为均值定理或 MVT 或 LMVT。它指出，如果函数 f (x) 在闭区间 [a, b] （其中 a ≤ x ≤ b）上连续，在开区间 [a, b] （其中 a < x < b）上可导，那么在这个区间中至少存在一点 x = c，满足

f(b) - f (a) = f' (c) (b-a)

上述定理称为一阶均值定理。它使得我们能够通过该线段中间点处的导数值来表达函数在给定区间内的增量。

拉格朗日中值定理的证明

考虑下面给出的辅助函数

F (x) = f (x) + ?x

在这里，我们将选择一个数字 ?，使得 F (a) = F (b) 的条件得到满足。那么

函数 F (x) 在闭区间 (a≤x ≤b) 上连续，在开区间 (a < x< b) 上可导，并且在区间的端点处取相同的值。因此，它满足罗尔定理的所有条件。那么，在区间 (a,b) 中存在一点 c，满足

F' (c) = 0。

由此得出

让我们通过一个例子来理解这个概念

示例 1

验证函数 f(x) = x² 在区间 [4,6] 上的均值定理

解：这里，您需要首先检查函数在给定的闭区间上是否连续；在本例中，它是连续的。然后，您需要检查函数在开区间 (4,6) 上是否可导；在本例中，它是可导的。

F' (x) = 2x

f(4) = 8

和 f(6) = 36

均值定理指出，存在一点 c ε (4,6)，使得

f' (c) = 14。

但是，

f' (x) = 2x

这意味着 c = 7。因此，在 c = 7 ε (4,6) 时，我们有

f' (c) = 14

几何解释

拉格朗日中值定理的几何意义是，当通过对应于区间 a 和 b 端点的图上点的弦的斜率等于

时，则在区间 [a,b] 内存在一点 x = c，其中图的切线平行于弦。

物理学解释

拉格朗日中值定理具有非常清晰的物理学解释。让我们考虑 f(p) 表示一个物体沿直线运动的位置，它取决于时间 p。比值 是物体在 b - a 时间段内的平均速度。由于 f'(p) 是瞬时速度，该定理意味着存在一个时刻 c，在该时刻瞬时速度等于平均速度。

拉格朗日中值定理在数学分析、计算数学等领域有着广泛的应用。让我们考虑两个不同的结果。

输出 1

在区间 [a,b] 的端点处函数 f (x) 的值相等，即 f(a) = f (b) 的特定情况下，均值定理意味着存在一点 c ε (a,b)，使得 f'(c) - = 0

我们得到罗尔定理，它可以被视为拉格朗日中值定理的一个特例。

输出 2

如果在区间 [a,b] 的所有点处导数 f' (x) 都为零，则函数 f (x) 在该区间上为常数。毫无疑问，对于区间 [a,b] 中的任意两个点 p1 和 p2，都存在一点 c ε (a,b)，使得

f(p₂)- f (p₁) = f' (c) (p₂ - p₁) = 0. (x₂-x₁) = 0

因此

F(p₁) = f (p₂)

基于拉格朗日中值定理的问题

示例 1

将温度计从深冻箱中取出并放入热水中。温度计从-5摄氏度升至100摄氏度用了30秒。求温度变化的平均速率。

解决方案

已知：

T (t₁) = -5

T (t₂) = 100

并且 t₂ - t₁ = 30 ⁰C

我们知道，

温度变化的平均速率 由拉格朗日中值定理给出的公式的右侧描述。

示例 2

检查函数 f(x) = (x² - 2x + 3) 在区间 [1, 2] 上的拉格朗日中值定理的有效性。如果定理成立，则确定一个满足定理条件的点 x。

f(x) = (x² - 2x + 3)

在区间 [1, 2] 上。如果定理成立，则确定一个满足定理条件的点 x。

解决方案

给定的二次方程在整个实数集上是连续且可导的。因此，我们可以在给定的方程中应用拉格朗日中值定理。函数的形式为

F'(x) = (x² - 2x + 3) = 2x - 2

确定点 c 的坐标

您可以看到点 c = 2,3 位于区间 (1,2) 中

示例 3

物体的位移由函数 s (t) = t² +5t - 6 给出。确定物体在区间 0 ≤t ≤6 中瞬时速度等于其在此区间平均速度的时间 t = c。

解决方案

给定的函数 s (t) 满足均值定理原理，因此我们可以写

其中，s = 0，b = 6

求导

s'(x) = (t² +5t -6)' = 2t + 5

将此方程代入，得到，