Java 中的硬币排列问题

问题陈述

给定一个数字 n，表示 n 个硬币，我们需要用这些硬币形成一个楼梯。楼梯的第 i 行包含恰好 i 个硬币。目标是确定可以用 n 个硬币形成的完整行的总数。

解决问题的方法

1. 数学方法

• 这个问题本质上是找到最大的整数 k，使得前 k 个自然数的和小于或等于 n。
• 前 k 个自然数的和由公式给出：Sum(k)=(k×(k+1))/2
• 我们需要找到最大的 k，使得：(k×(k+1))/2≤n。

文件名：ArrangingCoins.java

输出

 
The number of complete rows with 10 coins is: 4

解释

在这种方法中，它会递增 k 并将其加到 sum 中，直到 sum 超过 n。它返回 k - 1，即能够容纳 n 个硬币的最大完整行数。此方法确保每一步都逐渐增加 sum，直到它超过 n，从而确保准确计算完整行的数量。

时间复杂度

• while 循环运行直到 sum 超过 n。前 k 个自然数的和是 (k×(k+1))/2
• 在最坏的情况下，我们需要检查直到 (k×(k+1))/2 ≤ n。
• 这意味着 k 大约是 O(sqrt(n))，因为求解 k^2 ≤2n 得到 k≈sqrt(2n)。
• 因此，时间复杂度为 O(sqrt(n))。

空间复杂度

空间复杂度为 O(1)，因为我们只使用几个整数变量（k 和 sum），而与输入大小无关。

2. 二分查找方法

• 由于和公式是单调递增的，因此可以使用二分查找来高效地解决此问题。
• 通过应用二分查找，我们可以找到和小于或等于 n 的最大 k。

文件名：ArrangingCoins.java

输出

 
The number of complete rows with 10 coins is: 4

解释

这种方法使用二分查找在 [1, n] 范围内高效地找到最大的 k。它计算前 k 个自然数的和，并根据此和调整搜索范围。此方法通过每次将范围减半来优化搜索，从而确保快速确定 n 个硬币内可能的最大完整行数。

时间复杂度

• 二分查找方法使用对数搜索来找到最大的 k，使得前 k 个自然数的和小于或等于 n。
• 对 1 到 n 范围进行二分查找需要 O(logn) 时间，因为我们在每次迭代中将搜索区间分成两半。
• 二分查找中的每次检查都涉及常数时间算术运算。
• 因此，时间复杂度为 **O(logn)**。

空间复杂度

空间复杂度为 **O(1)**，因为我们只使用几个整数变量（left, right, mid, and sum），而与输入大小无关。

结论

将硬币排列成楼梯，其中每行包含递增数量的硬币的问题，可以使用迭代或二分查找方法来有效地解决。这两种方法都提供了明确的策略来找到用给定的硬币数量 n 可以形成的完整行的最大数量。无论是通过迭代递增还是二分查找优化，这些方法都能确保准确确定楼梯的高度，从而有效地满足问题的要求。