Find N-th Term in Series 2, 12, 36, 80, 150…. Using Java

问题陈述

您将获得一个数学序列，其项如下：2, 12, 36, 80, 150, … 目标是通过推导其数学公式、以编程方式实现并验证其正确性来确定此序列的n 项。

概述

1. 分析序列并识别其数学模式。
2. 推导一个用于查找序列 n 项的通用公式。
3. 使用 Java 实现推导出的公式，以高效计算序列。
4. 通过将计算出的序列项与给定的序列值进行比较，验证推导出的公式的正确性。
5. 对解决方案进行时间效率和空间效率方面的复杂性分析。

理解序列

给定的序列是

为了找到序列的 n 项，让我们仔细观察模式并推导出数学关系。

步骤 1：分析连续项之间的差值

• 一阶差：12 - 2 = 10
• 二阶差：36 - 12 = 24
• 三阶差：80 - 36 = 44
• 四阶差：150 - 80 = 70

一阶差为 10、24、44 和 70。接下来，计算二阶差

• 二阶差：24 - 10 = 14
• 二阶差：44 - 24 = 20
• 二阶差：70 - 44 = 26

二阶差为 14、20 和 26。最后，计算三阶差

• 三阶差：20 - 14 = 6
• 三阶差：26 - 20 = 6

三阶差为常数 6，这表明该序列遵循三次关系。三次序列可以表示为

步骤 2：求解系数

为了找到系数 a、b、c 和 d，请将序列的前四项代入方程

1. 当 n = 1 时

a(1)³+b(1)²+c(1)+d=2⟹a+b+c+d=2

2. 当 n = 2 时

a(2)³+b(2)²+c(2)+d=12⟹8a+4b+2c+d=12

3. 当 (n = 3) 时

a(3)³+b(3)²+c(3)+d=36⟹27a+9b+3c+d=36

4. 当 (n = 4) 时

现在解这个方程组

1. a+b+c+d=2
2. 8a+4b+2c+d=12
3. 27a+9b+3c+d=36
4. 27a+9b+3c+d=36

使用消元法或代入法，我们得到

a=1,b=1,c=0,d=0

因此，n 项的通用公式是

步骤 3：验证公式

代入 (n = 1, 2, 3, 4, 5)

1. T(1) =(1)3+(1)2=2
2. 7(2) = (2)3+(2)2= 12
3. 7(3) = (3)3+(3)2= 36
4. T(4) = (4)3+(4)2= 80
5. 7(5) = (5)3 +(5)2= 150

公式是正确的。

文件名：SeriesTerm.java

输出

 
The first 10 terms of the series are:
T(1) = 2
T(2) = 12
T(3) = 36
T(4) = 80
T(5) = 150
T(6) = 252
T(7) = 392
T(8) = 576
T(9) = 810
T(10) = 1100
The 6-th term of the series is: 252   

解释

Java 代码定义了一个 findNthTerm() 方法，该方法实现了推导出的公式。此方法使用基本算术运算来计算 n 项。 main() 方法通过打印序列的前 10 项和特定项（例如，第 6 项）来演示其功能。循环遍历 n 的值，并使用 System.out.println() 函数打印每项的结果。

该方法的优点

1. 效率：该公式以 (O(1)) 时间直接计算项。
2. 简单性：实现非常简单，仅依赖于基本运算。
3. 可扩展性：该程序可以处理大的 (n) 值，仅受 Java 整数类型的限制。

复杂度分析

序列的 n 项公式为

1. 时间复杂度
   
   • 该公式涉及简单的算术运算：n 的立方、n 的平方以及两个数的相加。这些运算需要 O(1) 的恒定时间。
   • 因此，计算 n 项的时间复杂度为 O(1)。
2. 空间复杂度
   
   • 计算仅需要基本的算术变量，而不需要额外的 内存，与 (n) 无关。因此，空间复杂度为 O(1)。
3. 观察结果
   
   • 多项式的次数为 3，这意味着随着 (n) 的增加，序列的增长率呈立方增长。
   • T(n) 中的主导项是 n^3，因此对于非常大的 n 值，计算成本将近似为 n^3。

结论

该序列遵循从三次多项式公式推导出的清晰数学模式

通过代入序列的前五项验证了该公式，所有计算结果均与预期的序列值匹配。该公式的实现很简单，计算任何给定项的时间复杂度为 O(1)。

这使得该公式对于大的 n 值非常高效且可扩展，因为它避免了迭代或计算量大的操作。