Java 中的帕斯卡三角形程序

杨辉三角是一个二项式系数构成的三角形模式，其中每个元素是它上面两个数字之和。在 Java 中，可以通过多种方法生成，包括阶乘法（ⁿC_r 公式）和迭代法，后者利用了杨辉三角的恒等式。

该程序接收一个整数 N 作为输入，并显示杨辉三角的前 N 行。迭代法更为有效，因为它基于已计算出的值来计算每个值，从而最大限度地减少重复计算。杨辉三角常用于组合学、概率论和二项式展开。

示例 1

输入

N = 5

输出

 
        1
      1   1
    1   2   1
  1   3   3   1
1   4   6   4   1   

示例 2

输入

N = 7

输出

 
            1
          1   1
        1   2   1
      1   3   3   1
    1   4   6   4   1
  1   5  10  10   5   1
1   6  15  20  15   6   1   

方法：使用 ⁿC_r 公式（二项式系数法）

此方法利用数学上的二项式系数公式来计算杨辉三角中的值。行 i 和列 j 的每个元素由下式给出：

C(i, j) = i! / (j! * (i - j)!)

它不是存储前几行，而是直接使用阶乘来计算每个元素。此方法确保了正确性，但涉及重复的阶乘计算，对于大的 N 来说效率不高。它适用于小的 N 值，并且避免了额外的空间使用。

算法

步骤 1：创建一个函数，通过循环计算一个数的阶乘，将从 1 到 n 的所有整数相乘。

步骤 2：调用阶乘函数，使用公式 nCr = n! / (r! * (n - r)!) 来计算杨辉三角中的每个元素。

步骤 3：在每行打印数字之前添加空格，以使三角形居中对齐，获得正确的格式。

步骤 4：遍历行中的每个元素，计算 nCr(i, j)，打印值，并插入空格以获得正确的间距。

步骤 5：对从 0 到 N-1 的所有行重复此过程，以生成完整的杨辉三角。

让我们在 Java 程序中实现上述步骤。

输出

 
        1   
      1   1   
    1   2   1   
  1   3   3   1   
1   4   6   4   1      

复杂度

时间复杂度：O(N²)，因为我们计算了 O(N²) 个元素的 ⁿC_r(i, j)。

空间复杂度：O(1)，因为只使用了几个变量。

让我们讨论另一种解决问题的方法。

算法

步骤 1：杨辉三角的每一行都以数字 1 开始，因为每一行的第一个元素总是 1。

步骤 2：在打印数字之前，打印空格以使三角形居中对齐，使其看起来对称。

步骤 3：使用公式

此公式有助于使用先前计算的元素计算行中的下一个元素，避免了重复的阶乘计算。

步骤 4：打印计算出的数字，后跟适当的空格，以保持杨辉三角的正确结构和可读性。

步骤 5：对每一行重复上述步骤，直到打印出所需的行数 (N)，确保显示正确的杨辉三角。

让我们在 Java 程序中实现上述步骤。

输出

 
        1   
      1   1   
    1   2   1   
  1   3   3   1   
1   4   6   4   1      

复杂度

时间复杂度：O(N²)，因为我们对三角形中的每个元素进行一次计算。

空间复杂度：O(1)，因为只使用了几个整数 变量。