Java 中每个查询的最大 XOR 值

计算数组中每个查询的最大 XOR 的问题是一个非常有趣的主题，它同时涉及到位操作技术和前缀树（Trie）数据结构。我们提供一个名为 nums 的非负整数数组和一个包含查询的列表。每个查询由两个数字 [xi, mi] 组成。在每个查询中，您需要确定 xi 与 nums 中小于或等于 mi 的任何元素进行 XOR 操作的最大值。如果不存在这样的元素，则该查询的结果应为 -1。

示例

输入

输出

 
[0,3,2,3]                                                                                                                                               

解释

方法 1：累积 XOR 与位操作

累积 XOR 与位操作是一种用于解决计算每个查询的最大 XOR 问题的有效技术，该方法利用 XOR 操作和位操作的特性来提供最优解决方案。

算法

步骤 1： 读取输入数组 nums 和 maximumBit。初始化累积 XOR (xs)、结果数组 (ans) 和用于翻转相关位的掩码 (mask) 的变量。

步骤 2： 计算 nums 数组中所有元素的累积 XOR (xs)。使用按位左移和减法创建掩码，以翻转直到 maximumBit 的位。

步骤 3： 遍历查询：反向遍历 nums 数组（模拟在每次查询后移除元素）。

步骤 4： 对于移除的每个元素：计算 k = xs ^ mask，其中 k 是与 xs 进行 XOR 操作能最大化结果的值。将 k 追加到结果数组 ans。通过将 xs 与正在移除的当前元素进行 XOR 来更新 xs。

步骤 5： 反转 ans 数组以匹配所需的查询顺序。返回包含每个查询的最大 XOR 值的 ans 数组。

文件名： MaxXORQueries.java

输出

 
 [0, 3, 2, 3]                                                                                                                                                

时间复杂度

计算累积 XOR 步骤涉及一次遍历 nums 数组以计算累积 XOR (xs)，其复杂度为 O(n)。使用双指针技术以 O(n) 的复杂度就地反转 ans 数组。因此，总时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度

存储 nums 数组所需的空间复杂度为 O(n)。存储 ans 数组（其中包含每个查询的结果）所需的空间也为 O(n)。因此，考虑到占主导地位的存储需求（即已排序数组的存储），总空间复杂度为 O(n)。

方法 2：排序和二分搜索

排序和二分搜索方法利用排序，通过二分搜索实现快速查找，确保每个查询都能以优化方式进行处理。

算法

步骤 1： 首先对 nums 数组进行排序。排序有助于使用二分搜索高效地查找小于或等于给定值 (mi) 的元素。

步骤 2： 处理每个查询：对于每个查询 [xi, mi]，其中 xi 是整数，mi 是允许的最大整数。

步骤 2.1： 使用二分搜索在排序后的 nums 数组中查找小于或等于 mi 的最大数字。

步骤 2.2： 计算 xi 与该数字的 XOR，以找到查询的最大 XOR 值。

步骤 3： 采用二分搜索来有效地在排序数组中定位小于或等于 mi 的最大数字。

步骤 4： 如果未找到精确匹配，二分搜索将返回小于 mi 的最大元素的索引。

步骤 5： 计算最大 XOR：在使用二分搜索找到合适的数字后，计算与 xi 的 XOR 以确定当前查询的最大 XOR。

步骤 6： 将每个查询的结果存储在输出数组中。最后，返回包含所有查询结果的数组。

文件名： MaxXORQueries1.java

输出

 
[1, 0, 1, 3]                                                                                                                                             

时间复杂度

对 nums 数组进行排序需要 O(nlogn) 时间，其中 n 是数组中的元素数量。每个查询都涉及对排序后的 nums 数组进行二分搜索，这需要 O(logn) 时间。共有 q 个查询，因此处理查询的总时间为 O(qlogn)。总时间复杂度为 O(nlogn+qlogn)。

空间复杂度

排序操作如果就地执行，通常需要 O(1) 的额外空间；如果使用辅助数组，则需要 O(n) 的额外空间。输出数组 result 需要 O(q) 的空间，其中 q 是查询的数量。考虑到占主导地位的空间需求（即排序数组的存储），总空间复杂度为 O(n)。

应用

1. 密码学

加密与解密：由于其特性，XOR 操作是许多加密算法的基础。XOR 值的有效计算对于加密协议至关重要。

哈希函数：基于 XOR 的哈希函数用于确保各种加密应用中的数据完整性和安全性。

2. 数据压缩

错误检测与纠正：XOR 用于 CRC（循环冗余校验）和汉明码等错误检测和纠正算法。

数据压缩算法：XOR 操作可以帮助压缩算法中使用的数据转换技术来减少冗余。

3. 网络

网络协议：XOR 用于网络协议中的校验和，并确保传输过程中的数据完整性。

数据包路由：XOR 操作可以帮助实现高效数据包路由和网络负载均衡的算法。

4. 计算机图形学

图像处理：XOR 操作用于图像处理中，用于遮罩、混合和检测图像之间变化等任务。

图形渲染：基于 XOR 的算法可用于高效渲染图形元素。

5. 机器学习与数据挖掘

特征工程：XOR 操作可用于特征工程，从现有特征创建新特征，尤其是在二分类任务中。

异常检测：基于 XOR 的技术可用于异常检测算法，以识别数据中的异常模式。

6. 硬件设计

数字电路设计：XOR 门是数字电路设计中的基本组件，用于算术电路、奇偶校验器等。

处理器设计：XOR 操作的有效计算在处理器设计中至关重要，尤其是在算术逻辑单元（ALU）中。

7. 区块链技术

共识算法：XOR 操作用于共识算法，以确保区块链网络的连贯性和安全性。

智能合约：XOR 值的有效计算可能对智能合约的执行至关重要。