Java Program to Count the Number of Ways to Color the Boundary of Each Block in an M×N Table

在 M×N 网格中为每个块的边界着色，其作用是根据一种特定模式来描述，该模式用于确定为包含该块的单元格的周长着色的可能方法数量。

这种类型的问题需要高度考虑网格结构和在每个块上发生的着色规则。但如果我们一步一步地分析，就能清楚地展示如何计算 M×N 表格中每个块边界的着色方法数量。

问题解释

如果不是一维或二维块，而是有 M×N 个块呢？网格中的每个单元格都有四条边：上、下、左、右，并且每条边都可以预先定义的 C 种颜色中的任意一种着色。

问题在于确定网格中所有边界的不同着色方案的数量，其中每个块的边都可以有不同的着色。然而，可以看到相邻的块共享边，因此这些边上的颜色应该相同。

因此，问题转移到确定如何为每个块的边界着色，并确保整个网格的着色是统一的。

分步解析

1. 网格布局
   • 我们有一个 M×N 的网格，意味着有 M 行 N 列的块。每个块有四条边可以着色。
   • 对于每个块 (i, j)，其边为：上、下、左、右。
2. 共享边
   • 每个块与其相邻的块共享边。块 (i, j) 的上边必须与块 (i-1, j) 的下边相同，其他共享边也类似。
     • 块 (i, j) 的右边 = 块 (i, j+1) 的左边
     • 块 (i, j) 的下边 = 块 (i+1, j) 的上边
     • 块 (i, j) 的左边 = 块 (i, j-1) 的右边
3. 颜色选择
   • 块的每条边都可以用 C 种颜色中的一种着色。但由于相邻的块共享边，着色网格的实际方法数量取决于共享边有多少种有效的着色。
4. 边界条件
   • 网格边界上的块（即最外层的块）有一些边不与任何其他块共享。这些边可以独立着色。

网格着色公式

为网格着色的总方法数量可以通过以下方式确定：

• 首先，考虑为每个单独的块着色有多少种方法，忽略边约束。
• 然后，应用块之间共享边的约束。

我们假设块的每条边都可以用 C 种不同的颜色着色。

• 对于单个块：每个块有 4 条边，每条边都可以独立地用 C 种方式着色。因此，给单个块的边界着色的方法数量是 C^4。
• 对于整个网格：要计算为整个网格着色的方法数量，考虑到共享边，我们必须仔细处理相邻块之间共享边界所施加的颜色约束。

文件名：GridColoring.java

输出

Total number of ways to color the boundary of the grid: 68719476736

复杂度分析

时间复杂度： O(log (m * n))

辅助空间： O(1)