Java 中不使用除法（/）和模（%）运算符通过二分查找来除以两个数

除法是一个基本算术运算，但是如果你不能使用除法（/）或取模（%）运算符怎么办？在竞争性编程和系统设计中，你可能会遇到迫使你跳出固有思维的限制。

一种这样的技术是使用二分查找来执行除法。在这一部分，我们将一步一步地探讨如何在 Java 中使用二分查找来除以两个整数，从问题理解到实现。

问题陈述

我们想在不直接使用 / 或 % 运算符的情况下计算除以两个整数（被除数和除数）的结果。目标是返回商，忽略余数。此外，我们应该处理边缘情况，例如除以零和整数溢出。

示例

divide(10, 2) 应该返回 5。

divide(7, -3) 应该返回 -2。

让我们分解一下解决方案！

方法：二分查找进行除法

二分查找在数组元素检索中的典型应用，成为解决除法问题的可适应方案。通过特定范围的搜索潜在商，并在不断缩小搜索区域的过程中继续进行。

范围定义：商介于 0 和 |被除数| 之间。

中点计算：范围的中点是潜在的商。

验证：将中点乘以除数，以检查乘积是否小于或等于被除数。

缩小搜索范围：如果乘积太小，则搜索右半部分；否则，搜索左半部分。

这使我们获得对数时间复杂度，使其成为一种高效的方法！

实现步骤

1. 处理特殊情况
   
   • 除数为零：返回 Integer.MAX_VALUE 或抛出异常。
   • 被除数为零：返回 0。
   • 整数溢出：处理 divide(Integer.MIN_VALUE, -1) 等情况。
2. 使用二分查找：我们在 [0, |被除数|] 范围内进行二分查找，并使用 long 数据类型来避免溢出。
3. 管理符号：我们单独跟踪符号，使用正值计算除法，并在最后调整符号。

输出

 
5
-2
0
1   

解释

程序首先处理除以零和溢出条件等边缘情况。它将被除数和除数都转换为正的 long 值，以避免整数溢出。

使用二分查找，它通过检查搜索范围的中点并计算乘积来找到最大的商。如果乘积小于或等于被除数，则更新结果并缩小搜索空间。

该过程重复进行，直到找到最佳商。最后，调整结果以获得正确的符号，并将商作为整数返回。

示例干运行

对于 divide(10, 2)

left = 0, right = 10, mid = 5, 5 * 2 = 10 → 找到了精确的商！

对于 divide(7, 2)

left = 0, right = 7, mid = 3, 3 * 2 = 6 → 缩小搜索范围。

left = 4, right = 7, mid = 5, 5 * 2 = 10 → 太大了，向左移动。

left = 4, right = 4, mid = 4, 4 * 2 = 8 → 太大了，向左移动。

最终结果 3

复杂度分析

时间复杂度：O(log(|被除数|))，因为使用了二分查找。

空间复杂度：O(1)，因为只使用了少数几个变量。

边缘情况

除数为 0：通过异常处理。

被除数为 0：返回 0。

溢出：返回 Integer.MAX_VALUE。

负数：单独处理符号。

结论

使用二分查找在不使用 / 或 % 运算符的情况下执行除法，是一种智能且高效的方法。它将问题简化为搜索空间，从而实现对数时间复杂度。这种方法不仅处理了负数和溢出等边缘情况，而且还展示了基础算法如何通过创造力和精确度来解决现实世界的限制。