Find Minimum Cost of Ropes Problem in Java

最小绳索成本是计算机科学和编程竞赛中的一个经典问题。它基于组合绳索以最小化总成本的概念。想象一下，您有几根不同长度的绳索，需要将它们组合成一根绳索。组合两根绳索的成本等于它们长度之和。目标是最小化组合所有绳索的总成本。

示例说明

让我们通过一个例子来理解这个问题

输入：绳索长度为 [4, 3, 2, 6]

输出：最小成本 = 29

过程

组合两根最短的绳索（2 和 3）。成本 = 2 + 3 = 5。剩余绳索：[4, 5, 6]。

组合两根最短的绳索（4 和 5）。成本 = 4 + 5 = 9。剩余绳索：[6, 9]。

组合最后两根绳索（6 和 9）。成本 = 6 + 9 = 15。

总成本 5 + 9 + 15 = 29.

方法 1：使用优先队列（最小堆）的贪心方法

算法

步骤 1：输入绳索长度数组

• 采用一个整数 数组，其中每个 整数 表示绳索的长度。

步骤 2：初始化最小堆（优先队列）

• 创建一个优先队列数据结构，该结构始终将最小的元素保持在顶部。
• 将数组中的所有绳索长度添加到优先队列中。

步骤 3：初始化总成本

• 创建一个变量 totalCost 并将其设置为 0。这将存储组合绳索的累积成本。

步骤 4：重复直到只剩一根绳索

步骤 4.1：当优先队列的大小大于 1 时

• 从堆中移除两根最短的绳索。这是两根最短的绳索。
• 将它们的长度相加以计算组合它们的成本。
• 将此成本添加到 totalCost。
• 将组合后的绳索（长度之和）重新插入优先队列。

输出总成本

• 循环结束后，变量 totalCost 包含将所有绳索组合成一根的最小成本。

文件名：MinimumCostOfRopes.java

输出

 
Minimum cost to connect all ropes: 29   

示例演练

输入

绳索 = [4, 3, 2, 6]

步骤：

初始化优先队列

• 将所有绳索插入最小堆：{2, 3, 4, 6}。

第一次迭代

• 移除两根最短的绳索：2 和 3。
• 组合成本：2 + 3 = 5。
• 将成本添加到 totalCost：totalCost = 5。
• 将组合后的绳索 5 重新插入堆：{4, 5, 6}。

第二次迭代

• 移除两根最短的绳索：4 和 5。
• 组合成本：4 + 5 = 9。
• 将成本添加到 totalCost：totalCost = 5 + 9 = 14。
• 将组合后的绳索 9 重新插入堆：{6, 9}。

第三次迭代

• 移除两根最短的绳索：6 和 9。
• 组合成本：6 + 9 = 15。
• 将成本添加到 totalCost：totalCost = 14 + 15 = 29。
• 将组合后的绳索 15 重新插入堆：{15}。

结束条件

• 堆中只剩下一根绳索（15），因此停止循环。

输出结果

• totalCost = 29。

复杂度分析

时间复杂度

将绳索添加到最小堆

• 将所有 n 根绳索添加到优先队列需要 O(n) 时间。

组合绳索

• 我们组合绳索直到剩下一根，这意味着需要 n-1 次操作。

每次操作包括

• 提取两根最短的绳索，每次需要 O(logn)。
• 将组合后的绳索添加回堆，需要 O(logn)。
• 组合绳索的总时间：(n-1)×O(logn)=O(nlogn)。

总体时间复杂度：O(n+nlogn)=O(nlogn)

空间复杂度

最小堆存储

• 优先队列最多存储 n 根绳索。
• 堆使用的空间：O(n)。

其他变量

• 一些用于计算的整数变量（例如：totalCost、first、second），它们使用 O(1) 空间。

总体空间复杂度：O(n)

方法 2：成对贪心方法

在这种方法中，我们不迭代地成对组合绳索，而是通过对绳索进行排序并配对最末端的最小绳索来一步计算总成本。

算法

步骤 1：输入绳索长度数组

• 输入：一个整数数组，其中每个整数表示绳索的长度。
• 示例输入：ropes = [4, 3, 2, 6]

步骤 2：对绳索长度进行排序

• 原因：排序有助于我们首先组合最短的绳索，从而确保我们最小化总成本。
• 排序：使用 Arrays.sort() 方法对绳索长度进行排序。
• 排序后的数组：[2, 3, 4, 6]

步骤 3：初始化总成本

• 创建一个变量 totalCost 来跟踪组合绳索的累积成本。
• 初始化：totalCost = 0

步骤 4：成对组合绳索

• 遍历排序后的数组，组合两根最短的绳索并更新总成本。
• 循环条件：从数组的开头迭代到倒数第二个元素（因为每次组合都会使绳索数量减少 1）。

让我们逐步循环

第一次迭代 (i = 0)

• 组合两根最短的绳索：2 和 3。
• 组合成本：2 + 3 = 5。
• 将成本添加到 totalCost：totalCost = 0 + 5 = 5。
• 更新下一根绳索：用组合后的长度 5 替换 3。
• 此步骤后的数组：[2, 5, 4, 6]。

第二次迭代 (i = 1)

• 组合接下来的两根绳索：5 和 4。
• 组合成本：5 + 4 = 9。
• 将成本添加到 totalCost：totalCost = 5 + 9 = 14。
• 更新下一根绳索：用组合后的长度 9 替换 4。
• 此步骤后的数组：[2, 9, 6]。

第三次迭代 (i = 2)

• 组合最后两根剩余的绳索：9 和 6。
• 组合成本：9 + 6 = 15。
• 将成本添加到 totalCost：totalCost = 14 + 15 = 29。

步骤 5：输出总成本

• 完成循环后，totalCost 包含连接所有绳索的最小成本。
• 输出：29

文件名：MinimumCostOfRopesPairwise.java

输出

 
Minimum cost to connect all ropes: 29   

复杂度分析

时间复杂度

排序步骤

• 对数组进行排序需要 O(nlogn)，因为排序过程涉及对所有 n 个元素进行排序。

组合绳索

• 循环运行 n-1 次，组合绳索对。
• 每次组合步骤需要 O(1)，因为我们只是将两个数字相加。

总复杂度

• 时间复杂度 = 排序 + 组合绳索
• O(nlogn)+O(n)=O(nlogn)

空间复杂度

排序需要额外的空间

• 数组已排序，因此我们需要与输入大小成比例的额外空间，即 O(n)。

其他变量

• 我们使用固定数量的附加变量（totalCost、循环变量等），它们占用常数空间：O(1)。

总空间复杂度

• 空间复杂度 = O(n) + O(1) = O(n)

“最小绳索成本”问题的属性

1. 贪心算法方法
   
   • 该问题采用贪心算法，该算法在每一步都选择局部最优解（首先组合两根最短的绳索）。
   • 这确保了全局最优解（最小成本）得以实现。贪心算法通常用于那些每一步所做的选择不会对未来选择产生负面影响的问题。
2. 最优子结构属性
   
   • 该问题具有最优子结构，这意味着整体问题的解决方案可以从更小子问题的解决方案构建而成。
   • 例如，在组合两根最短长度的绳索后，问题就简化为找到剩余绳索（包括组合后的绳索）的最小成本。
3. 非递减成本
   
   • 随着过程的进行，组合绳索的总成本会增加，因为被组合的绳索的长度会变大。
   • 每一步都会增加与两根最短绳索组合长度成比例的成本。
4. 最小堆（优先队列）的高效利用
   
   • 最小堆用于在每一步高效地找到两根最短的绳索。
   • 这种数据结构确保可以在 O(logn) 时间内检索和删除最小元素，从而使算法保持高效。
5. 可扩展的解决方案
   
   • 该算法可以很好地适应不断增长的输入规模，因为它最大限度地减少了不必要的计算并使用了高效的数据结构。
   • 例如，即使对于 n=10^6，由于其关键操作的对数性质，该算法也能高效运行。
6. 实际应用
   这个问题可以应用于现实场景，例如
   
   • 优化连接网络电缆的成本。
   • 在分布式系统中以最小的开销组合文件或数据包。
   • 合并资源（例如，管道或材料），其中成本取决于它们的大小。