Java 中查找公共素数因子

这是一个主要的数论问题，可以应用于密码学和代数等不同领域。一个数的特定除数是指能够整除该数的全部素数。实际上，这里要解决的问题包括确定输入两个整数中的这些素数。

这个问题可以通过不同的算法来解决，并且根据不同的方法，可能会出现不同的时间和空间复杂度。在接下来的部分中，将描述几种用于查找公共除数的算法及其 Java 程序：常规方法、欧几里得算法、多项式 GCD 算法和 Stein 算法；此外，还将提供它们的复杂度。

方法

1. 基本迭代质因数分解

第一个迭代或优势是简单地使用基本迭代方法进行质因数分解。

第一个也是最直接的方法是尝试将给定数字从 2 除到该数字本身。这很容易理解，但由于使用了循环，计算时间会随着 n 的值增加而呈指数级增长。

文件名：CommonPrimeDivisorsBasic.java

输出

 
Common prime divisors of 98 and 80 are: [2]   

解释：由于要分解的数字是整数，因此它从 2 开始用整数整除该数字，并记录能整除整个数字的数字。这是一个直接的过程；然而，如果有大量的数字需要分解，由于运行的循环次数，它会变得耗时。执行以下操作的结果是一个时间复杂度为 O(n) 的算法；同时，所保持的因子具有 O(log n) 的空间复杂度。

时间复杂度： O(n)，在最坏情况下，当根据 'n' 个输入数字进行决定时，这是线性的。

空间复杂度：假设素数因子的数量，空间复杂度以 log(n) 的线性速率存储输入数字的素数因子，为 O(log n)。

2. 主要依赖埃拉托色尼筛法的增强质因数分解

另一种查找这些素数因子的方法可以减少时间复杂度，因为通过埃拉托色尼筛法，它可以找到给定数字之内的所有素数。然后，提供的数字使用这些预先计算的素数进行质因数分解。

文件名：CommonPrimeDivisorsSieve.java

输出

 
Common prime divisors of 48 and 180 are: [2, 3]   

解释：此方法通过使用埃拉托色尼筛法获得最高输入数字的素数列表来降低复杂度。它使得素数生成的时间复杂度等于 O(n log log n)，而分解的时间复杂度为 O(n)，这意味着所提出的方法对于更大的数字更快、更有效。

时间复杂度：筛法生成素数的时间复杂度为 O(n log log n)，每次分解的时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度：O(n)，用于存储筛法中的每个元素以及素数列表。

3. 基于 GCD 的方法

这种方法进一步确定两个数字的 gcd，然后继续查找 gcd 的素数因子。由于只需要计算两个数字的素数除数，并且所有非公共素数都因除法而被消除，因此该策略高效且节省时间。

文件名：CommonPrimeDivisorsGCD.java

输出

 
GCDs of 48 and 180 is: 12
Common prime divisors (prime factors of GCD): [2, 2, 3]   

解释：在此之前，在查找公共因子时，首先计算两个数字的 GCD，然后仅对 GCD 进行因式分解以找出公共素数因子。此方法之所以高效，是因为它将问题简化为 GCD 本身这个更小的问题。GCD 计算需要 O(log(min(a, b))) 时间，分解 GCD 需要 O(n) 时间。

时间复杂度：GCD 为 log(min (a, b))，GCD 的因式分解为 n。

空间复杂度：平均为 O(log G)，表示 D 需要被除以得到 G 的次数，以及存储 G 的素数因子的空间。

结论

总而言之，可以用于完全确定给定数字对的公因数数量的方法是所呈现算法的核心部分，并且可以通过几种具有各自优缺点的方法来解决。

下面是其中一个可以被认为是“最简单”的方法：基本迭代质因数分解。其中使用的度量仅涉及除法运算。然而，对于大数字，它变得无效，因为它需要大量时间来解决方程。

使用埃拉托色尼筛法的优化质因数分解更有效，因为它使用了预生成的素数列表，因此所需的除法次数更少。由于筛法有助于更快地识别素数因子，因此该方法对于大量输入来说也相当有效。

还值得注意的是，基于 GCD 的方法是相当实用的，而且相当优雅。此方法使问题更简单，因为两个数字的 GCD 是最重要的标准数字，它具有用户输入的两个数字中最多的素数因子。这相当节省时间和空间，尤其是在公共除数较小的情况下，换句话说，它很高效。

因此，方法的选择取决于输入数字的大小和所需的计算速度。每种解决办法都对特定的问题条件有效，并且可以根据问题要求进行选择，这意味着它们对数论和计算数学很有帮助。