Convert Given Binary Tree to A XOR Tree in Java

XOR 树是一种二叉树，其中每个节点的值是其子树中所有节点（包括自身）值的 XOR 和。将给定的二叉树转换为 XOR 树需要进行后序遍历，从子节点向上计算到根节点每个节点的值的 XOR。

示例

输入

输出

        25
       /  \
      5   15
     / \    \
    1   4    7   

解释

在 XOR 树中，每个节点的值被替换为其子树中所有节点（包括自身）值的 XOR 和。从叶节点开始，节点 1 的 XOR 是 1，节点 4 的 XOR 是 4，节点 3 的 XOR 是 1^4=5，节点 8 的 XOR 是 7^8=15。最后，根节点的值变成 1^4^5^7^8=25。

方法 1：后序 XOR 计算

算法

步骤 1：后序遍历： 我们从后序遍历开始遍历树。这意味着我们先访问左子树，然后访问右子树，最后访问节点本身。这一点至关重要，因为 XOR 操作需要我们在更新父节点之前处理其子节点。

步骤 1.1：遍历左子树： 通过递归访问当前节点的左子树来开始后序遍历。这确保我们在移动到右侧之前处理左侧的所有节点。一直重复此过程，直到达到叶节点或空子节点，此时遍历停止并返回父节点。

步骤 2：递归： 对于每个节点，我们首先通过递归向下遍历到叶节点（没有子节点的节点）来计算其左右子节点的 XOR。如果一个节点没有子节点（即它是叶节点），它的 XOR 值就是它本身的值。

对于非叶节点，我们取其值、左子节点的 XOR 结果和右子节点的 XOR 结果的 XOR。

步骤 3：更新节点的值： 一旦我们得到了左右子节点的 XOR，我们就将当前节点的值更新为 XOR 操作的结果。

例如，如果一个节点的值是 10，它的子节点的 XOR 值分别是 5 和 3，那么我们将节点的值更新为 10 ^ 5 ^ 3。

步骤 3.1：计算左右子节点的 XOR： 对于非叶节点，在处理完左右子树后，计算左子节点更新后的值与右子节点更新后的值的 XOR。合并的 XOR 结果将与节点的值一起用于更新它。

步骤 4：返回 XOR 值： 更新完节点的值后，我们返回该节点与其子节点的 XOR 值。这个值将沿着递归调用栈向上返回，以帮助计算树中更高节点的 XOR。

步骤 5：最终输出： 在处理完整个树后，树将被转换，使得每个节点的值都表示其值与其子树中所有节点的值的 XOR。

让我们在一个 Java 程序中实现上述算法。

输出

 
1 6 4 12 15 7   

复杂度分析

时间复杂度

将 二叉树 转换为 XOR 树的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是树中的节点数。这是因为我们执行了后序遍历，每个节点都访问一次，并且每个节点的 XOR 值计算都在常数时间内完成。

空间复杂度

将二叉树转换为 XOR 树的空间复杂度为 O(h)，其中 h 是树的高度。这是由于后序遍历期间递归堆栈使用的空间。在最坏情况下，高度为 O(n)，其中 n 是节点数。

方法 2：使用堆栈的迭代后序遍历

算法

步骤 1：初始化： 堆栈设置：创建一个 堆栈 来管理遍历过程中的节点。将根节点添加到堆栈作为起点。

状态跟踪： 使用一个集合来跟踪子节点已处理过的节点。这有助于模拟“后序”行为。

步骤 2：迭代遍历： 遍历节点：从堆栈中弹出顶部节点进行处理。检查节点的子节点（左子节点和右子节点）是否已处理：如果是，则使用以下方法计算当前节点的 XOR：节点本身的值。其左右子节点的 XOR 值（如果存在）。

如果不是，则将节点放回堆栈，并先处理其子节点，将它们推入堆栈。

步骤 3：叶节点处理： 如果节点是叶节点（没有子节点），它的 XOR 值就是它本身的值。用这个值更新节点。

存储 XOR 结果： 使用映射或类似结构来临时存储子节点的 XOR 值。这允许父节点在其所有子节点都处理完毕后计算其 XOR 值。

步骤 4：后序行为重新访问节点： 当重新访问节点时（在处理完其子节点后将其推回堆栈），使用以下方法计算其 XOR：节点的值。其左右子节点在映射中的 XOR 值。

更新节点值： 将当前节点的值替换为计算出的 XOR。

标记为已处理： 将节点添加到“已处理集合”中，以指示其子节点已得到处理。

步骤 4.1：计算当前节点的 XOR

• 获取子节点的 XOR 值： 从映射中检索左右子节点的 XOR 值（如果存在）。
• 执行 XOR 操作： 使用 XOR (^) 运算符将当前节点的值与子节点的 XOR 值组合。
• 更新节点： 将计算出的 XOR 值分配回当前节点，以反映转换。

步骤 5：完成树： 继续此过程，直到堆栈为空。此时，所有节点都已更新为其 XOR 值。

步骤 6：验证树

• 中序遍历进行验证： 对树进行中序遍历，以确认每个节点的值是否与其子树中所有节点的值的 XOR 相符。
• 边缘情况检查： 确保叶节点保留其原始值，内部节点反映正确的 XOR 计算。
• 打印或记录树： 可选地，显示树结构或其节点值以进行调试和验证。

步骤 7：分析结果

• 与预期输出进行比较： 如果提供了预期的 XOR 树，请将转换后的树与其进行比较，以确保准确性。
• 处理特殊情况： 验证算法是否处理了边缘情况，例如：

单节点树（输出应与根节点的值匹配）。空树（无需转换）。

• 如有需要，进行优化： 根据执行期间的性能或内存使用情况，考虑针对特定的树结构（例如，平衡树或倾斜树）优化算法。

让我们在 Java 程序中实现上述算法。

输出

 
1 6 4 12 15 7   

复杂度分析

时间复杂度

时间复杂度为 O(n)，其中 n 是树中的节点数。在遍历过程中，每个节点只访问一次，并且每个节点的 XOR 计算都花费常数时间。因此，总花费时间与树中的节点数成正比。

空间复杂度

空间复杂度为 O(h)，其中 h 是树的高度。这是由于用于迭代遍历的堆栈，该堆栈存储了通往最深叶节点的路径上的节点。在倾斜树的最坏情况下，高度可以是 O(n)，其中 n 是节点数。