Count Inversions Problem in Java

在计算机科学中，数组反转的概念很重要，尤其是在处理排序和顺序统计问题的计算时。数组反转是一对索引 (i) 和 (j)，其中 (i < j) 且 (arr[i] > arr[j])。

换句话说，反转表示一个数组有多么无序。如果数组按升序排序，则反转数为零。按降序排序时，反转数达到最大。

在本节中，我们将深入探讨反转的理论、计数它们的详细算法以及使用Java 的实现。

理解和有效地计算数组中的反转具有实际应用，包括

1. 排序算法：量化数组中的无序程度。
2. 排名聚合：合并多个排名系统。
3. 计算生物学：分析基因序列。
4. 博弈论：确定游戏（如冒泡排序中的反转）的复杂度。

反转理论

给定一个数组 (arr[])，反转是一对元素，其中前面的元素大于后面的元素。例如

示例 1

解释：反转是：(2, 1)、(3, 1)、(8, 6)、(8, 1)、(6, 1)

示例 2

解释：每一对都是反转。

当一个大小为 (n) 的数组按降序排序时，它最多可以有 (n(n1)/2) 个反转。当按升序排序时，最少反转数为零。

暴力方法

计算反转的朴素方法是使用两个嵌套循环并比较每一对元素。

算法

1. 初始化一个计数器 count 为 0。
2. 使用两个嵌套循环
   外循环：从索引 (i = 0) 迭代到 (n-2)。
   内循环：从索引 (j = i+1) 迭代到 (n-1)。
3. 对于每一对 (arr[i], arr[j])，检查 (arr[i] > arr[j])。
   如果为真，则增加 count 变量。

时间复杂度

此暴力方法的 time complexity 为 (O(n^2))，对于大型数组来说效率低下。

使用优化方法

为了更有效地计算反转，我们可以修改归并排序算法。归并排序本身将数组分成更小的子数组并进行排序，同时进行合并。通过利用分治方法，我们可以在合并步骤中计算反转。

当合并两个已排序的半部分时，如果左半部分的元素大于右半部分的元素，则左半部分中剩余的元素会与右半部分的元素形成反转。

算法

1. 分治：递归地将数组分成两半，直到大小变为 1。
2. 计算与征服：在合并时，计算反转的数量
   如果 (arr[i] ≤ arr[j])，则没有反转。
   如果 (arr[i] > arr[j])，则从 (arr[i]) 到左子数组末尾的所有元素都与 (arr[j]) 形成反转。
3. 合并：总反转数是以下各项的总和：
   左半部分的setminus反转。
   右半部分的setminus反转。
   在合并步骤中计算的反转。

时间复杂度

时间复杂度为 O(n log n)，比 (O(n^2)) 的暴力方法快得多。

文件名：CountInversions.java

输出

 
Number of inversions: 5   

解释

countInversions() 函数初始化一个临时数组并调用递归的 mergeSortAndCount() 函数。此函数执行修改后的归并排序，并在排序时计算反转。

mergeAndCount() 函数按顺序合并两个半部分并计算它们的setminus反转。它计算比左侧当前元素大的元素数量。数组中setminus反转的总数是通过合并来自左半部分和右半部分的setminus反转来确定的。

结论

计算setminus反转是一个基本概念，在统计学和计算机科学中具有广泛的应用。虽然暴力方法提供了一种简单的方法，但使用修改后的归并排序的优化方法显著提高了性能，使其适用于大型数据集。

理解排序和setminus反转计数之间的相互作用，不仅可以提高算法效率，还可以深入了解数据排序和排名系统。