能力倾向小数概念与公式

注意事项

1. 小数：用小数点分隔的整数称为小数。

例如：数字0.1、0.07、0.00011等是小数。

如果我们将数字转换为普通分数，则数字的分母将包含10或10的倍数。例如：数字0.1 = 1/10，0.55 = 55/100

2. 小数位数：小数点后数字的个数称为小数位数。因此，3.625可以写成3625/1000，这意味着我们有三位小数，而5.39有两位小数。

3. 将小数转换为普通分数：将给定的数字写成不带小数点的值作为分子，并在分母上写1，后面跟着与小数点后数字位数一样多的零。例如，3.423 = 3423/1000。

• 在小数的右侧添加零不会改变其值。
  例如, 0.4 = 0.40=0.400=0.4000000
• 如果分子和分母具有相同的小数位数，我们可以删除小数点。
  例如：0.72/0.18等于72/18。
• 如果分子和分母具有不同的小数位数，我们必须通过添加零来使小数点部分中的数字位数相等，然后删除小数点。
  例如, 10/ 2.5 = 100/25 = 4

4. 小数的加法和减法：写下数字，将小数点放在一列中。然后可以像平常一样添加或减去数字。

• 例如 13.725 + 6.275 = 20.000 = 20
• 减法：13.72 - 3.225 等于 13.720 - 3.225 = 10.495

5. 小数的乘法：

• 乘以10、100、1000等，将小数点向右移动的位数等于乘数中的零的位数。
  例如, 12.5*10 =125
• 乘以整数：像整数一样乘以数字，并将积中的小数点放在被乘数中的小数位数一样多，必要时前面加上零。
  例如, 12.5*7
  被乘数 = 12.5
  乘数 = 7
  现在步骤1：将两者视为整数值进行相乘
  125*7 = 875
  
  步骤2：将积中的小数点放置为被乘数中的小数位数。
  根据题意，被乘数有1位小数。
  因此，积为87.5（小数点在1位小数之后）。
• 小数乘以小数：像整数一样相乘，并将积中的小数点放置为乘数和小被乘数中总小数位数一样多，必要时前面加上零。
  例如, 12.5*7.325
  被乘数 = 12.5
  乘数 = 7.325
  现在步骤1：将两者视为整数值进行相乘
  125*7325 = 915625
  
  步骤2：将积中的小数点放置为乘数和小被乘数中总小数位数一样多。
  根据题意，被乘数有1位小数，乘数有三位小数。
  这意味着积将包含小数点后1+3 = 4位小数。
  因此，12.5 * 7.325的积为91.5625

6. 小数的除法：

• 当除数为10、100、1000等时，将小数除以10、100、1000等，小数点分别向左移动1、2、3等位数。
  例如：12.23/10 = 1.223，153.56/1000 = 0.15356
• 当除数为小数时：将小数点向右移动位数，使除数成为整数，并将被除数补充零，补充的位数等于在除数中向右移动的小数点位数。
  例如, 125/5.5
  补充被除数中的零，使除数成为整数。
  1250/55 = 22.7272......

7. 循环小数：一个数字或一组数字连续重复出现的小数，称为循环小数、周期小数或循环小数。重复的数字是一组称为小数周期的数字。

• 纯循环小数：小数点后所有数字都重复出现的小数称为纯循环小数。
  例如：2.3̅2̅1是一个纯循环小数，因为小数点后的所有数字都重复出现。
• 混循环小数：小数点后有些数字不循环出现的小数称为混循环小数。例如：0.5429是一个混循环小数，因为在542̅9中，只有2和9是循环的。

8. 将循环小数转换为普通分数：

• 纯循环小数转换为普通分数：纯循环小数可以表示为普通分数，将与循环数字位数一样多的9放在普通分数的denominator中。
  例如：0.3̅2̅1= 321/999，3.2̅5 = 3+
• 混循环小数转换为普通分数：混循环小数可以表示为普通分数，其中分子将包含所有数字（小数点后）组成的数字与不循环数字之间的差；分母将包含与循环数字位数一样多的9，后面跟着与非循环数字位数一样多的零。
  例如：数字0.32145可以表示为 [32145- 321]/ 99000

9. 循环小数的加法和减法：

• 纯循环小数：首先，我们将循环小数转换为整数，然后执行加法或减法。
  例如：数字13.2̅4+ 15.2̅7将分为两部分相加。
  • 添加小数点左侧的整数值
    或者，13+15 = 28
  • 现在添加小数点右侧的循环值
    或者，24+27 = 51
    因此，13.2̅4+ 15.2̅7的和为28.5̅1

10. 混循环小数：混循环小数的加法和减法可以按以下步骤进行

• 将循环小数的展开分成三部分。在左侧部分，有一个整数值和非循环小数位数。如果只有一个数字包含非循环值，那么另一个只有循环值的数字将放置其循环值，以使两个数字的小数位数相同。
• 在中间部分，我们需要计算第一个数字和第二个数字中有多少个循环值，然后取它们的最小公倍数。在中间部分重复循环数字LCM的次数。
I
• 在最后一部分，不管数字中有多少个循环位数，我们总是要在第三部分放置两个循环数字。
  例如,
  设有两个数字 a = 3.7̅6, b = 1.45̅7̅6
  我们需要找到 a+b 和 a-b。
  
  这里，数字“a”有2个循环数字，数字“b”包含3个循环数字和1个非循环数字。
  循环数字（2, 3）的最小公倍数 = 6，这意味着中间部分将包含循环数字重复6次。

现在，将表达式分成3个部分。

因此，3.7̅6 + 1.45̅7̅6的和为5.22̅5̅3̅3̅4̅4
同样可以进行减法。

11. 循环小数的乘法：

• 将循环小数乘以10的倍数时，重复数字的集合不会改变。例如：设被乘数为3.5̅7，乘数为10
  现在，3.5̅7可以写成3.575757.... * 10 = 35.7575757.....
  我们知道重复值不会改变，因此循环数将保持不变。即，35.75̅7̅5̅7̅5̅7
• 将循环小数乘以不是10的倍数的数字时，首先将所有循环小数转换为普通分数，然后进行计算。
  例如：设被乘数为7.6̅3̅，乘数为11
  现在，7.6̅3可以写成7+ * 11
  
  或，(7+ )*11 = 11*7 +7 = 84
  
  因此，结果将是84

12. 近似与约简：如果小数点后的下一个数字是5或大于5，则将小数点后的数字增加到最接近的10。

例如：10.68的近似值为10.7

13. 小数的最大公约数和最小公倍数：小数的最大公约数和最小公倍数可以通过两个步骤找到

1. 首先，您需要通过在后缀中添加零（如果需要）来使小数数字中的位数（小数点后的值）相等。
2. 现在假设这两个数字都是整数，然后获取该数字的最大公约数和最小公倍数。在结果中放置小数点，其小数位数为初始数字中的小数位数。

例如：0.36和1.08

现在，将每个数字表示为不带小数的质因数乘积，我们得到

36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2² × 3³

现在，36和108的最大公约数 = 2² × 3² = 36
因此，0.36和1.08的最大公约数为0.36（取2位小数）

36和108的最小公倍数 = 2² × 3³ = 108
因此，0.36和1.08的最小公倍数为1.08（取2位小数）

14. 分数比较：将给定的每个分数转换为小数形式。然后，将它们按所需顺序排列。

例如：3/10、10/7、5/9 将它们转换为小数形式
3/10= 0.3
10/7 = 1.428
5/9 = 0.555...

现在比较每个，并按升序或降序排列。

升序排列 0.3<0.555<1.428