数字能力测试卷 9

答案： D

说明

要计算 8、9 和 15 的立方和，我们可以计算从 1 到 15 的立方和，然后减去从 1 到 7 的立方和。

自然数从 1 开始的立方数列的和可以使用以下公式计算：

Sn = (n*(n + 1)/2) ^2

其中 (n) 是数列的最后一个数。

从 1 到 15 的立方和 = (15(15 +1)/2) ^2

= (15*8) ^2

= 120^2

= 14400

从 1 到 7 的立方和 = (7(7 +1)/2) ^2

= (7*4) ^2

= 28^2

= 784

现在，8^3 + 9^3 + …. + 15^3 = (1^3 + 2^3 …. 15^3) - (1^3 + 2^3 …. 7^3)

= 14400 - 784 = 13616

答案：C

说明

对于能被 3 整除，数字之和必须能被 3 整除。对于能被 4 整除，最后两位数字组成的数必须能被 4 整除。

将此应用于选项

1. 10000 (不能被 3 整除，最后两位数字不能被 4 整除)
2. 10004 (不能被 3 整除，最后两位数字不能被 4 整除)
3. 10008 (数字之和为 1+0+0+0+8 = 9，能被 3 整除；最后两位数字 08 能被 4 整除)
4. 10012 (不能被 3 整除，最后两位数字不能被 4 整除)

因此，可能的最小数为 10008

答案： B

说明

当一个数的位数超过 3 位时，我们可以使用三位分组法来检查是否能被 7 整除。

三位分组法包括从右边开始将数字分成三位一组（最后一组可以少于三位）。如果奇数位置上三位数组的和减去偶数位置上三位数组的和能被 7 整除，则原数也能被 7 整除。

对于数字 abc563237291

第一组三位数字 = 291

第二组三位数字 = 237

第三组三位数字 = 563

第四组三位数字 = abc

(奇数位置三位数组的和 - 偶数位置三位数组的和) 必须能被 7 整除。

(291 + 563) - (237 + abc) 必须能被 7 整除。

617 - abc 必须能被 7 整除。

将每个选项代入表达式 (617 - abc) 并检查是否能被 7 整除

617 - 389 = 228 (不能被 7 整除)

617 - 393 = 224 (能被 7 整除)

617 - 391 = 226 (不能被 7 整除)

617 - 384 = 233 (不能被 7 整除)

因此，使用选项 b (393)，表达式能被 7 整除。

答案：C

说明

一个数要能被 5^n 整除，则该数的最后 n 位数字必须能被 5n 整除。

625 = 5^4

因此，一个数要能被 625 整除，其最后 4 位数字组成的数必须能被 625 整除。

答案： D

说明

设该数为 X

根据题意，x 除以 11 余 8。

那么根据欧几里得除法引理

X = 11k + 8，其中 k 是一个整数。

我们可以将其重写为 X = (10 + 1)k + 8

⇒ X = 10k + (k + 8)

⇒ 当 X 除以 10 时，余数 n 的形式为 (k + 8) mod 10。当 k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...... 时，余数变为 9, 0, 1, 2, 3 ...

因此，对于 k 的不同整数值，它可以取 0 到 9 的值。因为我们要求非零余数的可能个数，所以 n 的可能值为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 和 9。因此 n 可以取 9 个不同的值。