方程定义

方程中等号两边的数字是相等的。这是数学中方程的定义，但方程也可以用来描述各种问题、情况或解决问题的尝试。在英语中，由两个表达式通过等号连接组成的格式良好公式被视为方程。然而，该词在其他语言中的同源词可能具有略微不同的定义。例如，在法语中，方程被定义为带有一个或多个变量。

确定因子的哪些好处使等式成立，以解出带有因子的方程。问题是方程必须考虑的因子的另一个名称，而方程的排列是满足等式的问题的好处的另一个名称。字符方程和相关方程是方程的两种类型。元素的所有好处都适用于一个字符。一个相关方程只适用于组件的特定优势。

一个方程由两个通过等号（“=”）连接的表达式组成。方程中等号不同侧的表达式被称为“左侧”和“右侧”。通常，方程的右侧被认为是零。假设这不会减少共识；这可以通过从两侧移除右侧来确认。

最常见的方程两边都是多项式，被称为多项式或代数方程。多项式方程的每一边都有一个或多个项。例如，公式

Ax^2+Bx+C-y = 0

一个放置砝码的秤是方程的一个很好的类比。将相同重量的物质（如谷物）放入两个秤盘中，直到秤平衡，此时重量被认为是相等的。为了保持秤的平衡，从秤的一个秤盘中取出谷物时，必须从另一个秤盘中取出相同的量。如果对方程的两边执行相同的操作，通常可以保持方程的平衡。

在笛卡尔数学中，方程被用来描绘数学图形。由于所考虑的方程，如可验证或参数方程，具有无限多的解，因此现在的目标是独特的：不是明确地给出解或计算它们（这是不可能的），而是提出方程来研究图形的性质。这是对数计算的最初思想，是对数学的一个重要领域。

所研究的两种引入代数类型是多项式方程和线性方程的特定情况。当只有一个变量时，温和条件的形式为 ax + b = 0，而多项式条件的形式为 P(x) = 0，其中 P 是多项式。这两种类型的问题都可以使用来自数学分析或线性代数的算法或几何方法来解决。在代数中，还研究具有整数系数和解的丢番图方程。采用植根于数论的不同方法。这些方程通常具有挑战性；因此，人们经常寻找解的存在或不存在，如果存在，则寻找解的数量。

微分方程是那些涉及一个或多个函数及其导数的方程。通过确定函数的无导数公式，它们可以被解析。微分方程用于物理学、化学、生物学和经济学等领域，以表示涉及变量变化率的过程。

罗伯特·雷科德于 1557 年创建了“=”符号，因为他相信没有什么比两条长度相同的平行直线更相等了。从那时起，它就被用于每个方程中。

类似插图

方程的两边代表天平的两边。即使两边放置不同的重量，天平也会平衡，因为通过类比，如果两边的重量相等，作为平衡的等式也将平衡。

在该示例中，三个不同的值（在这种情况下为实数）x、y 和 z 分别表示为圆形砝码，每个砝码具有不同的重量。减法从已存在的重量中移除重量，而加法向系统中添加重量。当等式成立时，两边具有相同的总重量。

性质

拥有相同解集的两个方程或两个方程组是相等的。以下过程将方程或方程组转换为等价的方程或方程组，假设这些操作适用于它们所应用的表达式

• 通过加法或减法，您可以将方程各边的变量修改相同量。这表明每个方程都等于右侧为零的方程。
• 一个非零数乘以或除以方程的两边。
• 将恒等式应用于方程的一侧以改变它。将更多内容添加到产品中或将总数分解是两个例子。
• 对于一个框架：将另一个情况的相同侧（乘以相同的量）添加到一个情况的两侧。

当一个函数应用于方程的两边时，新方程在其解中包含原方程的解，但也可能包含其他解，这些解被称为多余解。例如，方程x=1的解是x=1。通过应用该函数并将两边提高到 2 的指数，方程变为x2 = 1，它显示了不必要的解和之前的解x = -1。此外，某些函数值可能会丢失解（例如，当 x = 0 时，1/x 未指定）。因此，当对一个方程使用这种变换时，必须小心。

几何

解析几何

在欧几里得几何中，空间中的每个点都可以通过使用正交网格获得一组坐标。方程可以使用这种技术来描述几何形状。在三维空间中表示平面的一种方法是将其表示为形式为ax+by+cz+d = 0的方程的解集，其中 a、b、c 和 d 是实数值，未知数 x、y 和 z 是由正交网格确定的系统中点的坐标。

字母 a、b 和 c 代表垂直于方程所建议平面的向量的坐标。一条线被定义为在R2中具有值的单个线性方程的解集，或者在R3中具有值的两个线性方程的解集，具体取决于两个平面的交点。

一个方程和一个圆锥形成一个圆锥曲线x^2 + y^2 = z^2和一个平面。换句话说，所有圆锥曲线都是前面提到的平面和空间中的圆锥方程的解。通过这种形式化，可以确定圆锥曲线焦点的位置和特性。

使用方程可以解决数学领域中的大量数学问题。当图形转换为方程时，笛卡尔方向框架将一个数学问题转换为一个研究问题；因此，该名称是科学计算。笛卡尔阐述的这一观点改进并调整了古希腊数学家所设想的计算。

解析几何表示数学中的一个当前领域。它仍然使用方程来描述图片，但采用更复杂的方法，如泛函分析和线性代数。

笛卡尔方程

两个数值坐标可以唯一地识别平面中的任何点；该点与两条固定垂直有向线之间的带符号距离由相同的长度单位表示。这些距离被称为笛卡尔坐标。

人们可以使用相同的标准来确定三层空间中任何点的位置，方法是使用三个笛卡尔方向，它们是到三个通常相反的平面（或者，同样，通过其到三个通常相反的线的垂直投影）的相当大的距离。

17 世纪发现笛卡尔坐标的勒内·笛卡尔（也以其拉丁化名称 Cartesius 闻名）通过首次系统地联系欧几里得几何和代数，彻底改变了数学。笛卡尔方程是代数方程，涉及在使用笛卡尔坐标系时形成的点的坐标，可以用来描述几何形状（例如曲线）。例如，所有坐标 x 和 y 满足公式x2 + y2 = 4的点的集合可以表示一个以特定点（称为原点）为中心的半径为 2 的平面中的圆。

数论

丢番图方程

当一个具有两个或更多未知数的代数方程只寻求整数解时，该方程被称为丢番图方程（整数解是指所有未知数都具有整数值）。线性丢番图方程涉及两个零次或一次单项式的和。Ax + by = c，其中 a、b 和 c 是常数，说明了一个线性丢番图方程。指数丢番图方程中的项的指数是可能是未知数的变量。

丢番图问题比未知因子少方程，并且包括寻找对所有方程都准确的数字。用更专业的语言来说，它们描绘了一个数学弯曲、算术曲面或更全面的对象，并询问其上的横截面焦点。

“丢番图”一词指的是公元三世纪的希腊数学家亚历山大港的丢番图，他研究了这类方程，并可能最先将符号引入多项式数学。丢番图研究是现代对丢番图问题的数值研究的名称。

代数数和超越数

代数数是单个变量中具有客观系数（或通过清除分母具有整数系数）的非零多项式条件。超越数，例如那些不能代数表示的数。几乎所有复数和实数都是超越数。

代数几何

代数几何是数学的一个分支，传统上专注于多项式方程的排列。现代代数几何依赖于额外的唯一变量代数的理论方法，特别是交换变量代数，以及语言和几何问题。

代数簇是已求解的多项式方程组的几何表示，是代数几何中的基本研究对象。研究最多的代数簇类别是卡西尼卵形线和平面代数曲线，其中包括直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线以及椭圆曲线等三次曲线和双纽线等四次曲线。如果一个点的坐标与给定多项式方程匹配，则该点据说属于一条代数曲线。对特定兴趣点（例如孤立点、拐点和无穷远点）的研究涉及基本问题。曲线拓扑和由各种方程提供的曲线之间的关系是更复杂问题的主题。

微分方程

微分方程是任何将函数及其导数联系起来的数学公式。应用程序通常使用函数来表示物理量，使用导数来表示这些值的变化率，并使用方程来表达两者之间的关系。由于这种关系很常见，微分方程在许多领域得到广泛应用，包括物理学、工程学、经济学和生物学。

微分方程在纯数学中从各个角度进行研究，主要关注它们的解——满足方程的函数集合。只有最简单的微分方程可以用显式公式解决，但即使不知道精确解的形式，也可以推断出方程的一些特性。

在没有独立公式的情况下，可以使用计算机定量估计答案。动力系统理论强烈侧重于定性研究由微分方程描述的系统。同时，已经开发出几种数值技术来以一定精度找到解。

常微分方程

常微分方程 (ODE) 是一个包含一个自变量的函数及其导数的方程。“常”这个词描述了微分方程，与可能具有许多自变量的偏微分方程相对。

线性微分方程，其排列可以相加并乘以系数，是显而易见的并被感知，并且获得了精确的封闭形式排列。另一方面，需要附加排列的属性是非线性的，并且解决它们无疑更加复杂，因为人们很少能通过封闭形式的基本能力来解决它们：相反，精确和分析的属性排列是串联或基本形式。通过努力或通过 PC 应用的图形和数学技术可以估计属性的排列，并且可能会产生有用的信息，通常在没有精确、分析排列的情况下就能满足要求。