整数定义

整数是数字系统的一部分，它涵盖了从零到无穷大的所有数字。所有这些数字都存在于数轴上。因此，它们也被称为实数。还必须得出结论，所有整数都是实数，但在这种情况下，反之则不成立。也可以说它是自然数和零的集合。

类似地，整数也被定义为整数和负自然数的集合。整数包括负数和正数，以及零。实数包含所有集合：分数、自然数、整数和整数。

整数的例子包括 0、11、25、999……

定义

这些数字不是 p/q 形式或分数，它们是包含零的正数集合。整数用字母“W”表示。由于零也是整数系统的一部分，它表示零值或空值。

计数

自然数

N =

整数

Z =

整数

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ….}

它包含所有正值，也包含零。它不包含小数和分数。

整数的性质

整数的性质是从算术运算中得出的，例如加法、减法、乘法和除法。

加法

当两个整数相加或相乘时，结果就是整数。

减法

两个整数的减法可能不会得到整数。结果也可能是一个整数。

可除性

整数的除法可能得到小数或分数。

我们将看到更多关于整数的性质，并通过证明和示例来阐明。

封闭性

这意味着它在乘法和加法下是闭合的。假设 x 和 y 是两个整数；那么 x + y 或 x.y 也将是整数。

示例

假设 6 和 8 是整数

6 + 8 = 14；14 是一个整数

6 x 8 = 48：这是一个整数。

加法和乘法的交换律

两个整数的乘积和总和将保持不变，无论它们的顺序如何。

考虑 x 和 y 为两个整数，则x.y = y.x 且 x + y = y + x

例如

考虑 10 和 3 为整数

10 + 3 = 13

3 + 10 = 13

因此，

10 + 3 = 3 + 10

类似地，

3 x 7 = 21

7 x 3 = 21

因此，

3 x 7 = 7 x 3

因此，我们可以说整数在乘法和加法下是可交换的。

加法单位元

当 0 加到整数上时，值保持不变。考虑 x 为一个整数，则x + 0 = 0 + x = x

示例

假设 0 和 5 是两个整数

0 + 5 = 5

5 + 0 = 5

0 + 5 = 5 + 0

因此，我们可以得出结论，0 是整数的加法恒等元。

乘法单位元

整数乘以 1 时，结果保持不变。假设整数为 x，则1. x = x.1

示例

假设两个整数 1 和 13

1 x 13 = 13

13 x 1 = 13

所以，

1 x 13 = 13 x 1

一 = 整数的乘法恒等元。

结合律

当整数作为一个集合相乘或相加时，它可以按任何顺序组合，结果将保持不变。假设 x、y 和 z 为整数，因此：x + (y + z) = (x + y) + z 且 (x. y) .z = x. (y. z)

示例

令 5、6、7 为整数，

5 + (6 + 7) = 13 + 5 = 18

(5 + 6) + 7 = 11 + 7 = 18

因此，

5 + (6 +7) = (5 + 6) + 7………… (1)

5 x (6 x 7) = 5 x 42 = 210

(5 x 6) x 7 = 30 x 7 = 210

因此，

5 x (6 x 7) = (5 x 6) x 7 ……………(2)

因此，从方程 (1) 和 (2) 中，我们可以得出结论，加法和乘法的结合律是成立的。

分配律

如果 a、b 和 c 是三个整数，则乘法对加法的分配律为a. (b + c) = (a.b) + (a. c)。同样，a. (b - c) = (a. b) - (a. c)

示例

令 2、3、4 为整数

2 x (3 + 4) = 2 (7) = 14

(2 x 3) + (2 x 4) = 6 + 8 = 14

因此，

2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4) …………… (1)

假设 6、8 和 4 为三个整数

6 x (8 - 4) = 6 x 4 = 24

(6 x 8) - (6 x 4) = 48 - 24 = 24

因此，

6 x (8 - 4) = (6 x 8) - (6 x 4) …………… (2)

从方程 (1) 和 (2) 中，整数的分配律得到验证。

乘以零

当整数乘以零时，结果总是零。假设 a 为整数。

则 a x 0 = 0。

例如，

0 x 17 = 0

13 x 0 = 0

14 x 17 x 0 = 0。

因此，该定律得到验证。

除以零

当一个整数除以零时，结果是无穷大或零。例如，a 是一个整数，当除以零时，结果未定义。

自然数与整数的差异

自然数

• 自然数：1、2、3、4、5、6、7、8、9、…
• 计数从 1 开始
• 所有自然数都被视为整数

整数

• 整数：(0、1、2、3、4、5、6、…)
• 计数从 0 开始
• 并非所有整数都被视为自然数

趣味事实

• 除了零之外，每个整数都有一个前驱数。
• 没有最大的整数

常见问题解答

问题：数字系统中是否存在负整数？

答：整数不能为负。根据定义，整数从 0、1、2、3、4、5、6、7、…开始。

问题：使用分配律，计算 10 (2 + 3)。

答案

分配律：a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

10 x (2 + 3) = 10 x 5 = 50

(10 x 2) + (10 x 3) = (20) + (30) = 50

10 x (2 + 3) = (10 x 2) + (10 x 3)

50 = 50

问题：哪个数字不被认为是整数？

答案：有理数、分数和小数不被认为是整数。例如，4.5、6/7、4.55555 和 pi 都不是整数。

问题：以三种不同的方法对 23、45 和 67 求和，并命名所使用的性质。

答

方法 1。

23 + (45 + 67) = 135

方法 II。

(45 + 67) + 23 = 135

方法 III。

(23 + 67) + 45 = 135.

这里使用的性质是结合律。

问题：在什么情况下，两个整数的乘积会变成零？

答：当其中一个数字是零时，两个数字的乘积会变成零。我们知道任何数乘以零，结果总是零。

结论

简而言之，我们可以得出结论，整数在数字系统中起着重要作用，并在算术运算中发挥着关键作用。