整数定义及示例

什么是整数

它是一个包含所有不含分数或小数部分的整数的集合。用于表示整数的字母是Z，它包括（-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10）

整数用于进行数学运算，如加法、减法、乘法和除法。整数在经济学、数学、计算机编程和科学等各种领域都有应用。

整数的类型

• 零：零既不被视为正整数也不被视为负整数。它被认为是中性数。因此，它没有任何符号。
• 正整数：它们被称为自然数或计数数。这些整数有时用符号Z+表示。它们都显示在数轴的正侧。例如
  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.
• 负整数：这些整数显示在数轴的左侧。Z-表示它们 - 符号。
  -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10.

数轴上整数的表示

前面已经提到，整数有三种类型，并且可以根据零的负整数和正整数很容易地在数轴上表示它们。

零位于数轴的中心。正整数位于零的右侧，负整数位于零的左侧。

整数的规则

由于整数是整数，它们可以是零、负数和正数。它们遵循特定的规则和属性来控制它们在数学运算中的行为。整数的一些通用规则是

1. 整数加法

• 两个正数相加

当两个正数相加时，结果是正整数。

例如

4 + 3 = 7

7 + 3 = 10

• 两个负数相加

当两个负数相加时，得到的结果将是负整数。例如

(-3) + (-4) = (-7)

(-5) + (-5) = (-10)

• 正整数和负整数相加

当一个正整数与一个负整数相加时，结果将取决于数字的绝对值。如果正数更大，结果也将是正数。如果负整数的绝对值更大，结果将是负整数。例如

(-6) + 7 = 1

(-8) + 4 = -4

2. 整数减法

• 两个正整数相减

此数学运算通过从较大的整数值中减去较小的整数值来执行。结果的符号等于较大的整数。换句话说，

x - y = z，其中 x > y，例如，7 - 6 = 1。

• 负整数减去正整数

要从负整数中减去一个正整数，应该将正整数加到负整数的绝对值上，并保持结果为正。换句话说，

x - (-y) = z，其中 z > 0。

例如，4 - (-5) = 9

• 两个负整数相减

对于两个负数相减，将减法运算改为加法，将第二个负整数的符号改为正号，然后按常规进行加法。换句话说，

-a - (-b) = c，其中 a > 0 且 b > 0。

例如，-7 - (-3) = -4

以上是整数减法的规则。理解减法过程中符号的运算对于正确执行运算并获得正确结果至关重要。

3. 整数乘法

整数乘法中遵循的规则

• 两个正整数相乘

在两个正整数相乘时，使用简单的乘法规则，结果将是正整数。换句话说，

xb = z，其中 a > 0 且 b > 0。

例如，5 * 4 = 20。

• 正整数乘以负整数

对于正整数乘以负整数，将它们相乘，得到的结果将是负整数。这可以用以下方式说明

a x (-b) = -c，其中 a > 0 且 b > 0

示例：5 x (-2) = -10

• 负整数乘以正整数

对于负整数乘以正整数，将它们相乘，得到的结果将是负数。下面说明了这一点

(-a) x b = -c，其中 a > 0 且 b > 0

示例：(-3) * 6 = -18

• 两个负整数相乘

将两个负数相乘，得到的结果将是正整数。下面说明了这一点。

(-a) x (-b) = c，其中 a > 0 且 b > 0

示例：(-2) * (-3) = 6

• 与零相乘

当一个数乘以零时，结果总是零。它与整数的符号无关。换句话说

x 0 = 0，其中 a 是任何整数

示例：7 x 0 = 0

以上是整数乘法的规则。要正确执行整数乘法运算并获得正确的结果，理解这些规则非常重要。

4. 整数除法

• 正整数相除

普通除法：用除数除被除数。当给出两个正整数时，运算得到的结果将是一个正整数或以分数形式表示。换句话说

a / b = c，其中 a > 0 且 b > 0

示例：8 / 4 = 2

• 正整数除以负整数

用负整数除被除数，运算得到的结果将是一个负整数或分数。这可以用以下方式说明

a / b = c，其中 a > 0 且 b > 0

示例：12 / -3 = -4

• 负整数除以正整数

用正整数除被除数。得到的结果将是一个负整数。例如

a / b = c，其中 a > 0 且 b > 0

-8/(4) = -2

• 两个负整数相除

当两个负整数相除时，结果总是正数。

a / b = c，其中 a > 0 且 b > 0

-8/ -4 = 2

整数的一些主要性质

1. 交换律

交换律控制整数的加法。它意味着当整数的顺序颠倒相加时，结果不会改变。

a+b=b+a

4+ 5 =5+4

9=9

2. 零性质

将零添加到整数不会改变整数的值。例如

4 + 0 = 4

(-3) + 0 = (-3)

3. 结合律

结合律也控制整数的加法。该属性指出，将数字添加到组中不会改变结果。

(6 + 7) + 5 = (7 + 5) + 6

18=18

4. 整数的单位元性质

整数的单位元性质说明存在一个唯一的属性，称为“单位元”或加法单位元，当一个数与之相加时，结果就是它本身。我们可以理解单位元是一种属性，它不会改变与之相加的元素的值。

在数学上，加法的单位元性质可以表示如下

对于任何整数“a”，

a + 0 = 0 + a

= a

这对于所有整数都成立，例如正数、负数和零。

整数的乘法逆元

非零整数的乘法逆元是一个数，当该数与原始整数相乘时，得到乘积 1。换句话说，对于整数“a”，其乘法逆元“b”使得“a”乘以“b”等于 1。

乘法逆元的存在取决于原始整数是否为零。对于非零整数，存在唯一的乘法逆元，它也是一个整数。但是，对于整数 0，不存在乘法逆元，因为数学中除以零是未定义的。

形式上，对于非零整数“a”，其乘法逆元“b”可以表示为

a * b = 1

求解“b”得到

b = 1/a

例如，让我们考虑整数 4。4 的乘法逆元是 1/4，因为 4 乘以 1/4 等于 1

4 * (1/4) = 1

同样，-2 的乘法逆元是 -1/2，因为 -2 乘以 -1/2 也等于 1

-2 * (-1/2) = 1

应该记住的是，并非所有整数都具有乘法逆元。例如，没有整数值可以乘以 0 得到 1。因此，0 不被视为乘法逆元。