旋转定义

我们知道，在现实生活中，地球和月球都在绕着各自的轴自转。那么，旋转究竟是什么意思呢？几何学中最基本的四种变换形式是旋转、反射、平移和缩放。在本文中，我们将学习旋转的基本概念。

当一个物体围绕其中心或另一轴以圆形方式移动时，就称之为旋转。物体可以绕任何有限数量的假想轴或直线旋转。当物体旋转时，物体的每个部分都以相同的速度绕轴运动。旋转是四种不同类型变换中的一种。与线性运动相比，旋转运动更为复杂。

物体可以顺时针或逆时针方向以不同的角度旋转。当角度为顺时针方向时，角度被视为负值；当角度为逆时针方向时，角度被视为正值。

下图显示了一个物体以不同角度顺时针和逆时针旋转。

让我们看一下旋转公式

旋转公式

我们知道旋转可以是顺时针或逆时针的。在数学中，一个图形围绕一个固定点（特别是原点）的圆周运动称为旋转。因此，旋转点或图形的坐标会发生变化。旋转可以使用任何角度。当物体绕原点旋转时，让我们看看在两个方向上几个常见角度的旋转公式。

此外，如果旋转不是绕原点，而是绕点 Q(α, β) 进行，则存在一个通用旋转公式，如下所示：

设点的起始坐标为 (x, y)。然后，根据公式，旋转后点 (x', y') 绕点 Q 的坐标为

(x', y') = {α + (x-α)cosθ - (y-β)sinθ, β + (x-α)sinθ - (y-β)cosθ}

旋转矩阵

在欧几里得空间中，可以使用旋转矩阵进行旋转。该矩阵将一个点按角度逆时针旋转，然后输出该点在笛卡尔平面中的旋转后的坐标。旋转矩阵 R 可以表示为

因此，由向量 V 表示的点可以与该矩阵相乘，如下所示：

旋转对称性

由于图形的旋转对称性，当相对于其初始形状旋转时，其形状不会改变。这些图形被认为具有旋转对称性，因为它们具有对称轴。有几种方法可以找到旋转对称性。最简单的方法是从 0° 到 360° 开始旋转物体。

如果一个物体在旋转到某个角度时，其形状相对于其原始形状保持不变，则认为该物体在该旋转角度下具有旋转对称性。例如，圆形在所有角度下都具有旋转对称性，正方形在旋转 90° 的倍数时具有旋转对称性，而三角形具有旋转对称性。

旋转公式求解示例

示例 1：将点 (7, 4) 顺时针旋转 90 度，得到的结果坐标。

解决方案

(X, Y) = 已知 (7, 4)

坐标在位置旋转 90° 顺时针后为 (y, -x)

因此，旋转后的点的坐标为 (4, -7)。

示例 2：将点 (3, 4) 逆时针旋转 180 度，得到的结果坐标。

解决方案

(X, Y) = 已知 (6, 8)

坐标在位置旋转 180° 逆时针后为 (-x, -y)

因此，旋转后的点的坐标为 (-6, -8)。

示例 3：将点 (x, y) 顺时针旋转 270° 后，坐标为 (5, 7)。该点的实际坐标是多少？

解决方案

已知起始坐标为 (x, y)

旋转后，最终坐标为 (5, 7)。逆时针旋转 270° 后的实际坐标已知为 (-y, x)。

因此 (-y, x) = (5, 7)

所以 (x, y) = (7, -5)

因此，该点的实际坐标为 (7, -5)。

示例 4：将点 (1, -6) 逆时针旋转 90 度，得到结果坐标。

解决方案

(X, Y) = 已知 (2, -4)

坐标是通过将位置顺时针旋转 90° (-y, x) 得到的

因此，旋转后的点的坐标为 (4, 2)。

与旋转相关的常见问题解答

问题 1：什么是旋转点？

答案：物体旋转的方向称为旋转点。

问题 2：请举例说明旋转。

答案：旋转的一些例子包括：

• 地球绕轴自转。
• 风扇的转动。
• 任何地球仪绕轴的旋转。

问题 3：旋转角度是什么意思？

答案：旋转角度是以度为单位的课程量。

问题 4：“旋转”一词的确切含义是什么？

答案：旋转是一种变换，它是物体绕固定点、轴或中心进行的圆周运动。

问题 5：请介绍三种不同的旋转形式。

答案：有三种不同的旋转：

• 章动
• 进动
• 基本旋转