三角学定义

我们都听说过“几何学”这个词，它是数学的一个分支，研究形状、角度、结构及其测量方法。除此之外，这个数学分支还关注形状和结构的二维性质以及它们在平面上的相对配置。几何学由两个希腊词“Geo”和“Metron”组成。“Geo”的意思是“地球”，“Metron”的意思是“测量”。由此可知，几何学是描述形状、物体、行星、角度等测量方法的数学领域。

根据形状的维度，几何学主要分为以下两种类型：

1. 二维（2D）几何学
2. 三维（3D）几何学

一个基本且最重要的观点，在二维几何学和三维几何学中都遵循，即在几何学中研究的所有形状和结构都由点、射线、线和平面构成。我们在几何学中研究的所有形状都是由相互相交于某个公共点并形成平面上的闭合结构的线构成的。

在今天这个广阔的几何学主题中，我们有一个特别的主题，“三角函数”，作为我们讨论的主题。

引言

“三角函数”这个词由两个词组成，第一个是“Tri-gon”，另一个是“Metron”。正如我们在上文中所读到的，“Metron”的意思是“测量”，“Tri-gon”的意思是“三边形”，即一个有三个角和三条边的形状或物体。这意味着三角函数是几何学的一部分，而几何学是数学的一部分，它研究三角形。这个学科在工程、天文学、物理学等许多不同领域都有广泛的应用。三角函数是现代数学的一个基本组成部分，并在我们的日常生活中得到广泛应用。在本文中，我们将探讨三角函数的所有可能部分，例如历史、定义、三角函数、反三角函数、它们的应用程序等等。

定义

三角函数是研究三角形的数学主题，而三角形是具有三个角的形状或物体。这意味着**三角函数**可以定义为研究三角形或三角形形状物体边和角之间关系的主题。

三个基本三角函数是正弦、余弦和正切；这些函数将直角三角形的角度与边长比相关联。

总而言之，三角函数是数学的一个基本分支，为解决与三角形、角度和比率相关的问题提供了一个强大的工具集。对于任何学习科学、技术、工程或数学的人来说，它都是必不可少的工具。

历史

古代，这些三角函数被水手和天文学家用作航海方法来在海上航行。三角函数的发现可以归功于古代印度人、美索不达米亚人和埃及人，大约在四千年前。

最早的三角函数证据可以追溯到公元前 150 年，由希腊数学家“喜帕恰斯”发现，他制作了一个在特定角度具有值的三角函数表。“托勒密”在公元前 100 年左右进一步增加了计算描述。喜帕恰斯也被称为现代三角学的父亲。

著名的印度数学家和天文学家“阿耶波多”在公元 4 年左右开发了半弦表，也被称为正弦表和余弦表。他使用“zya”来表示正弦函数，“kotizya”来表示余弦函数，“Vikram zya”来表示反余弦函数。著名的印度数学家“婆罗摩笈多”在公元 6 年左右使用了插值公式，根据牛顿-斯特林插值公式的二阶来计算正弦函数的值。

在古斯里兰卡的阿努拉德普勒王国时期，存在着一个非常古老的水库。考古研究证明，为了建造这个水库，古人使用了三角函数来计算大约在公元前 4 年的水流坡度。

在 10 世纪，波斯数学家和天文学家阿布·瓦法（Abul Wafa）发现了正切函数；他还改进了三角函数的计算方法，用于计算三角函数表。他找到了计算角度和的方法，即 sin (a + b)，并建立了球面几何学的公式。

Sin (A) / Sin (a) = Sin (B) / Sin (b) = Sin (C) / Sin (c)。

其中 A、B 和 C 是三角形的角，a、b 和 c 是该三角形 (ABC) 的边长。

印度数学家“巴斯卡拉”于 1150 年给出了构造三角函数值的详细方法；他还开发了球面三角学的公式。在 13 世纪，巴斯卡拉与波斯数学家纳西尔·丁·图西一起，首次将三角函数作为一门独立的数学学科来处理。

“三角函数”一词由数学家巴塞洛缪斯·皮蒂斯（Bartholemaeus Pitiscis）于 1595 年创造，并在他的三角函数著作（论文）中提到。

三角函数

主要有三个三角函数：正弦（Sine）、余弦（Cosine）和正切（Tangential）。但还有另外三个函数与上述三个函数相关（我们将在接下来的段落中讨论它们之间的关系），这些函数是余割（Cosecant）、正割（Secant）和余切（Cotangential）。

为了理解这些函数，我们将绘制一个直角三角形 (XYZ)，其中 Y 顶点有一个 90 度角，使得 XY 是三角形的高，YZ 是三角形的底，XZ 是三角形 XYZ 的斜边。X 是高和斜边之间的角，Z 是底和斜边之间的角，Y 是高和底之间的角，为 90 度。设高的长度为 z，斜边的长度为 y，底边的长度为 x。

如下图所示。

1. 正弦函数：正弦函数可以定义为三角形 XYZ 的高与斜边的比率。它用 Sin 表示。
   这意味着 Sin (Z) = 高 / 斜边 = z / y
   当正弦函数中的角度改变时，高和底也会根据角度改变。
   Sin (X) = 高 / 斜边 = x / y
2. 余弦函数：余弦函数可以定义为三角形 XYZ 的底与斜边的比率。它用 Cos 表示。
   这意味着 Cos (Z) = 底 / 斜边 = x / y
   当余弦函数中的角度改变时，高和底也会根据角度改变。
   Cos (X) = 底 / 斜边 = z / y
3. 正切函数：正切函数可以定义为三角形 XYZ 的高与底的比率。它用 Tan 表示。
   这意味着 Tan (Z) = 高 / 底 = z / x
   当正切函数中的角度改变时，高和底也会根据角度改变。
   Tan (X) = 高 / 底 = x / z
4. 余割函数：余割函数可以定义为三角形 XYZ 的斜边与高的比率。它用 Cosec 或 Csc 表示。
   这意味着 Cosec (Z) = 斜边 / 高 = y / z
   当余割函数中的角度改变时，高和底也会根据角度改变。
   Cosec (X) = 斜边 / 高 = y / x
5. 正割函数：正割函数可以定义为三角形 XYZ 的斜边与底的比率。它用 Sec 表示。
   这意味着 Sec (Z) = 斜边 / 底 = y / x
   当正割函数中的角度改变时，高和底也会根据角度改变。
   Sec (X) = 斜边 / 底 = y / z
6. 余切函数：余切函数可以定义为三角形 XYZ 的底与高的比率。它用 Cot 表示。
   这意味着 Cot (Z) = 底 / 高 = x / z
   当余切函数中的角度改变时，高和底也会根据角度改变。
   Cot (X) = 底 / 高 = z / x

重要公式

1. [Sin (Θ)]² + [Cos (Θ)]² = 1
2. 1 + [Tan (Θ)]² = [Sec (Θ)]²
3. 1 + [Cot (Θ)]² = [Cosec (Θ)]²
4. Sin (Θ) = 1 / Cosec (Θ)
5. Cos (Θ) = 1 / Sec (Θ)
6. Tan (Θ) = 1 / Cot (Θ)
7. Sin (-Θ) = -Sin (Θ)
8. Cos (-Θ) = Cos (Θ)
9. Tan (-Θ) = -Tan (Θ)

和差化积公式：其中 α 大于 β，α ≥ β。

1. Sin (α) + Sin (β) = 2 * Sin [(α + β)/2] * Cos [(α - β)/2]
2. Sin (α) - Sin (β) = 2 * Sin [(α - β)/2] * Cos [(α + β)/2]
3. Cos (α) + Cos (β) = 2 * Cos [(α + β)/2] * Cos [(α - β)/2]
4. Cos (α) - Cos (β) = - 2 * Sin [(α + β)/2] * Sin [(α - β)/2]

积化和差公式：其中 α 大于 β，α ≥ β。

1. Sin (α) * Sin (β) = (1/2) * [Cos (α - β) - Cos (α + β)]
2. Cos (α) * Cos (β) = (1/2) * [Cos (α + β) + Cos (α - β)]
3. Sin (α) * Cos (β) = (1/2) * [Sin (α + β) + Sin (α - β)]
4. Cos (α) * Sin (β) = (1/2) * [Sin (α + β) - Sin (α - β)]

角度和公式：其中 α 大于 β，α ≥ β。

1. Sin (α + β) = Sin (α) * Cos (β) + Cos (α) * Sin (β)
2. Sin (α - β) = Sin (α) * Cos (β) - Cos (α) * Sin (β)
3. Cos (α + β) = Cos (α) * Cos (β) - Sin (α) * Sin (β)
4. Cos (α - β) = Cos (α) * Cos (β) + Sin (α) * Sin (β)
5. Tan (α + β) = [Tan (α) + Tan (β)] / [1 - Tan (α) * Tan (β)]
6. Tan (α - β) = [Tan (α) - Tan (β)] / [1 + Tan (α) * Tan (β)]

半角公式

1. Sin (A/2) = ± √{(1 - Cos (A))/2}
2. Cos (A/2) = ± √{(1 + Cos (A))/2}
3. Tan (A/2) = ± √{(1 - Cos (A))/ (1 + Cos (A))} = sin (A) / [1 - Cos (A)]

三角形的边与角的关系

我们画一个正三角形 (XYZ)，X、Y 和 Z 是三角形的角。

使得 XY 的长度 = z，YZ = x，XZ = y。如图所示。

那么三角形的边与角的关系由以下给出：

1. [Cos (X)] * [2*y*z] = z² + y² - x²
2. [Cos (Y)] * [2*x*z] = x² + z² - y²
3. [Cos (Z)] * [2*x*y] = x² + y² - z²
4. [x / Sin (X)] = [y / Sin (Y)] = [z / Sin (Z)] = 2*R，其中 R 是三角形的外接圆半径。

三角函数值表

在此表中，我们了解三角函数在 0、30、45、60 和 90 度的一些值。

度

反三角函数

反三角函数是六个三角函数：正弦、余弦、正切、余割、正割和余切的逆函数。这些函数用于查找与给定三角函数值相对应的角度度量。

Sin (Θ) = x

Θ = Sin^-1 (x)

六个反三角函数是：

1. 反正弦 (x)：反余弦函数，它给出正弦值为 x 的角度。其定义域为 [-1, 1]，值域为 [-?/2, ?/2]。
2. 反余弦 (x)：反余弦函数，它给出余弦值为 x 的角度。其定义域为 [-1, 1]，值域为 [0, ?]。
3. 反正切 (x)：反正切函数，它给出正切值为 x 的角度。其定义域为 (-∞, ∞)，值域为 (-?/2, ?/2)。
4. 反正割 (x)：反正割函数，它给出正割值为 x 的角度。其定义域为 (-∞, -1] ? [1, ∞)，值域为 [0, ?/2) ? (?/2, ?]。
5. 反余割 (x)：反余割函数，它给出余割值为 x 的角度。其定义域为 (-∞, -1] ? [1, ∞)，值域为 (-?/2, 0] ? [0, ?/2)。
6. 反余切 (x)：反余切函数，它给出余切值为 x 的角度。其定义域为 (-∞, ∞)，值域为 (0, ?)。

需要注意的是，反三角函数对其定义域和值域有限制，并且它们并非总是单值的。为了获得唯一的值，通常会定义主值。

三角函数的应用

三角函数在不同领域有广泛的应用，例如：

1. 物理学：三角函数用于计算运动物体的轨迹以及光线的入射角和反射角。
2. 工程学：三角函数用于设计和建造建筑物、桥梁和水坝等结构。
3. 天文学：三角函数用于天文学，计算星星和行星等天体的位置和运动，以及它们与地球的距离。
4. 音乐：三角函数用于音乐，计算声波的频率和波长。
5. 测量学：三角函数用于测量学，测量地球表面点之间的距离和角度。
6. 天气预报：三角函数用于天气预报，计算大气系统的轨迹和速度。
7. 体育：三角函数用于棒球、足球和高尔夫等运动，计算精确表现所需的角度和距离。
8. 艺术：三角函数用于艺术，在绘画和素描中创造透视和比例。
9. 密码学：三角函数用于密码学，创建和解码秘密消息。
10. 导航：三角函数用于导航，确定船只或飞机的。通过使用三角函数，导航员可以计算两点之间的距离、方向以及船只的速度。