线性规划的优缺点

模型制定在决策中至关重要，因为它抓住了商业选择问题的核心。将口头描述和数值数据转化为数学公式，从而准确反映决策要素、目标和资源利用约束之间关系的过程，称为制定。线性规划（L.P.）是一种特殊的技术，用于根据给定的最优标准，经济地分配“稀缺”或“有限”的资源（如劳动力、材料、机器、时间、仓库空间、资本、能源等）于多种竞争性活动（如商品、服务、工作、新设备、项目等）。在规划阶段，可用性有限的资源被称为稀缺资源。

决策者在使用线性规划解决现实选择问题之前，必须了解所有这些假设和属性。“线性”指的是模型变量之间的线性关系。因此，一个变量的任何变化都会导致另一个变量成比例的变化。例如，某项目的投资翻倍，回报率也将翻倍。规划是指通过从一系列可能选项中选择特定行动方针或策略，来处理涉及稀缺资源经济分配问题的数学建模和求解。

线性规划的结构

L.P.模型的一般结构

L.P.模型的一般结构由三个要素组成。

在决策过程和确定目标函数最优值时，我们必须考察各种可能性（行动方案）。当然，如果没有选择，我们就不需要L.P.了。目标函数的特性和资源的可用性是评估各种选择的基础。为此，我们从事多项任务，通常表示为 x1, x2,... x.n。这些任务的完成程度体现在这些活动的值中。例如，在生产混合产品时，管理层可以利用L.P.来确定在劳动力、设备、资金和材料等有限资源的支持下，每种产品应生产多少单位。

由于决策者对这些活动拥有控制权，因此这些活动有时被称为决策变量。这些选择因素，经常因有限资源而相互关联，需要同时求解。每个决策变量都是非负的、可控的且连续的。具体来说，x1>0, x2>0,....xn>0

主要目标：每个L.P.问题的目标函数都用一个可测量的量（如利润、成本、收入、距离等）来数学地表示目标。在其最简单的形式下，它表示为：

优化（最大化或最小化）Z = c1x1 + c2..X2... cn …xn

其中Z是绩效度量变量，x1, x2,..., xn是它的函数。c1, c2...cn 是参数，表示每个变量 x1, x2..., xn 的单位对绩效度量Z的贡献。通过图形法或单纯形法可以确定给定目标函数的最佳值。

约束：完成目标的程度总是受到特定资源利用（或约束）的限制，如劳动力、机械、原材料、空间、金钱等。这些限制必须用决策变量的线性等式或不等式来表示，并且L.P.模型的解必须遵守这些限制。

当目标函数和约束可以写成线性数学函数时，线性规划方法是从一系列可行选项中选择最佳选项的方法。

线性规划应用领域

在线商、工业和许多其他行业中，线性规划是最常用的决策方法。本节将介绍线性规划的几个主要应用领域。

1. 农业应用

这些项目属于管理和农业经济学领域。前者关注的是国家或地区的农业经济，而后者则侧重于特定农场面临的问题。

农业经济学研究涵盖区域间竞争和作物产量最佳分配等主题。在本地土地资源和总体需求的限制下，可以使用线性规划模型来确定有效的生产模式。

在农业规划中，线性规划可以分配稀缺资源（如土地、劳动力、水和营运资金），以最大化净收入。

2. 军事应用

在军事应用中，选择一种空中武器系统来对抗敌人，以使其被压制，同时最大限度地减少所需的航空燃油量。社区防御灾难问题，其解决方案确定了在特定袭击中应使用的防御单位数量，以在最低成本下提供所需的保护水平，这是运输问题的变种，旨在最大化投放到一组目标上的炸弹总吨位。

3. 生产控制

1. 产品组合：一家企业可能生产多种产品，但每种产品都消耗有限的生产资源。在这些情况下，考虑到其边际贡献和资源消耗量，决定生产每种产品的数量至关重要。在所有约束条件下，目标是最大化总体贡献。
2. 生产计划：这包括在考虑初始库存水平、生产能力、生产限制、劳动力和所有相关成本要素的情况下，确定在计划期内需求变化的产品最小成本生产计划。目标是最小化总运营费用。
3. 装配线平衡：当将多个零件组合成一个单一物体时，很可能会出现此问题。装配过程需要遵循特定的顺序(s)。目标是最小化已流逝的总时间。
4. 混合问题：当一种产品可能由多种现成的原材料制成时，就会出现这些问题，每种原材料都有独特的成分和成本。目标是在原材料可用性以及特定产品成分的最小和最大限制的约束下，确定成本最低的混合。

4. 财务管理

1. 投资组合选择：这涉及从各种选项中选择要参与的投资活动。目标是在给定约束下，最大化总预期回报的同时最小化风险。
2. 利润计划：这包括最大化在工厂、设施和设备上的投资以及现金和库存的利润率。

5. 市场营销管理

1. 媒体选择：利用线性规划技术，可以在预算受限、指定了对不同市场细分的曝光率以及指定了混合媒体广告的最小和最大数量的情况下，确定广告媒体组合以最大化有效曝光。旅行推销员问题：这个挑战是确定从特定地点出发，访问每个列出的地点，然后返回起点的最快路径。然而，在整个行程中，任何城市都不能被访问两次。修正后的分配方法可用于解决此类问题。
2. 实物配送：利用线性规划，生产设施和配送中心以最经济有效的方式定位，以便进行实物配送。

6. 人事管理

1. 人员配置问题：利用线性规划，将最优人员分配给给定工作，以最小化加班总成本或总劳动力。
2. 计算公平薪酬：利用线性规划方法计算了销售激励和公平报酬。
3. 工作评估和选择：组织一直使用线性规划方法来为特定工作选择最佳候选人并评估工作。

线性规划的其他应用领域包括行政管理、教育、车队管理、外包工作、医院运营和资本预算。

线性规划的优点

线性规划的优点包括以下几点：

1. 线性规划有助于最大化利用有用资源。它还显示了选择和安排这些资源如何帮助决策者有效地利用其生产要素。
2. 通过使用线性规划技术，决策得到改善。运用这项技术可以实现更客观、更少主观的决策过程。
3. 线性规划方法提供了潜在可行的解决方案，因为可能存在需要考虑的外部限制。我们能生产很多单位并不保证它们能卖出去。因此，为了方便决策者，调整数学答案至关重要。
4. 该方法最重要的好处是它突出了制造过程中的瓶颈。例如，当出现瓶颈时，一些机器无法满足需求，而另一些机器则空闲。
5. 线性规划使重新评估因情况变化而产生的基本策略变得容易。如果条件在部分实施过程中发生变化，可以调整策略以获得最佳结果。

线性规划的缺点

1. 目标必须易于识别且可量化。例如，它可能涉及成本最小化、利润最大化和销售最大化——这些在实际世界中都不切实际。
2. 要包含的活动应可定义且可量化。例如，生产计划问题中的所有活动都无法量化评估，例如病人时工人的表现，这是无法量化的。
3. 为实现目标所需的系统资源必须可量化观察和识别。它们必须是有限的。
4. 将目标和资源限制考虑因素表示的关系，分别由目标函数和约束方程或不等式描述，必须是线性的，这是不可能的。
5. 该技术涉及以一种权衡资源投资回报与实现目标的方式来分配这些资源。决策者应能获得基于可用资源限制的一系列实际替代方案。
6. 当上述要求在特定情况下得到满足时，问题就可以用代数形式表示，称为线性规划问题（LPP），然后求解以获得最佳结果。
7. 求解 L.P. 模型时，不保证会得到整数解。
8. 例如，当确定完成某项任务所需的人员和设备数量时，非整数解将毫无意义。通过四舍五入到最接近的整数无法得出最佳答案。在这些情况下，整数规划保证了决策变量具有整数值。
9. 线性规划模型不考虑时间和不确定性的影响。因此，需要以允许纳入内部和外部变化的方式来建立L.P.模型。
10. 即使有计算机，线性规划方法有时也可能解决复杂问题。主要问题可以分解为几个较小的问题并单独解决。
11. 尽管模型中的参数假定为常数，但在现实世界的情况下，它们通常既不为人知也不为常数。
12. 可能对任何组织产生负面影响的因素，如员工士气低落、员工压力和天气状况，都无法考虑。
13. 只考虑了一个目标，尽管现实世界中会出现多目标问题。

线性规划目标

在给定的线性规划问题中，其值必须在指定可行解的集合上最大化或最小化的实值函数，就是线性规划问题中的目标函数。它只是一个数学表达式，表达了任务的目标，并且可以按比例放大或缩小。目标函数具有数学公式 z = ax + by。您可以根据问题的目标来确定是需要最大化还是最小化目标函数。它通常表示成本或利润。

线性规划的目标函数包含什么？

在線性規劃問題中，目標函數是實值函數，其值必須在給定的線性規劃問題的約束條件下，在各種可行解中進行最大化或最小化。它僅是任務目標的數學表達式，可以按比例放大或縮小。Z = ax + by 是目標函數的方程式。根據挑戰的目標，您可以決定是需要最大化還是最小化目標函數。它通常表示成本或收益。

数学优化中最受欢迎的类型很可能是线性规划，并且有许多计算机工具可用于解决线性规划问题。