集合的基数

在本文中，我们将讨论集合的基数及其示例。此外，我们还将讨论有限集和无限集的基数。

希望本文能帮助您理解集合的基数。

集合是同类型不同对象的集合。有时我们需要知道集合的大小。集合的基数定义为集合中唯一元素的总数。例如，集合 A = {a, b, c} 的基数为 3，因为它只包含三个元素。

计算有限集的大小很容易，因为它们是“表现良好”的。问题出现在无限集上，因为它们很难理解。

竖线用于表示集合的基数。例如，集合 A 的基数表示为 |A|。当 A 是有限集时，|A| 是集合 A 中元素的数量。当 A 是无限集时，|A| 用一个基数表示。集合的基数记为 n(A)，其中 A 是任何集合，n(A) 是集合 A 中元素的数量。

注意：空集的基数等于零，即 |∅| = 0。

可数无限集的基数是可数无限。

现在，让我们讨论有限集和无限集的基数。

有限集的基数

在理解有限集的基数之前，首先要理解有限集。如果一个集合恰好包含 n 个不同的元素，其中 n 是一个非负整数，则该集合称为有限集。有限集也称为可数集。这里，n 被称为“集合的基数”。集合的基数表示为 |A|、# A、card(A) 或 n(A)。如果满足以下条件，则集合称为有限集：

• 它是空集，或者，
• 如果集合中的元素之间存在一对一对应关系

注意：两个集合 A 和 B 之间的一对一对应关系是指一个函数 f: A → B，该函数是单射且满射。

现在，让我们通过示例来理解它。

示例 1：假设有一个集合 A，其中包含所有英文字母。那么集合 A 的基数是 26，因为英文字母有 26 个。

所以，n(A) = 26。

同样，如果有一个集合表示一年中的月份，它的基数将是 12，因为一年中有十二个月。

示例 2：设 P = {k, l, m, n}。求其基数。

解：显然，给定的集合 P 是一个有限集。因此，集合 P 的基数等于其中元素的数量。因此，给定集合 P 的基数是 4，因为它包含四个元素。

所以，n(P) = 4。

因此，计算有限集的基数很容易。现在，让我们讨论无限集的基数。

无限集的基数

在理解无限集的基数之前，首先要理解无限集。非有限集称为无限集。如果一个集合非空，并且不能与任何 n ∈ N 的 {1, 2, ..., n} 建立一对一对应关系，则称该集合为无限集。无限集中的元素数量是不可数的，也无法用枚举形式表示。因此，无限集的元素用三个点（或省略号）表示。

示例：无限集的例子包括自然数集、所有整数集等等。

无限集的基数是 **n(A) = ∞**，其中 A 是任何无限集。它的基数是无限的，因为它有无限数量的元素。

无限集分为 **可数无限** 和 **不可数无限**。

现在，让我们首先讨论可数无限集和不可数无限集。

可数无限集

如果满足以下条件，则称一个集合为可数无限：

• 它是有限的，即 |A| < ∞
• 如果集合中的元素与自然数集 N 中的元素之间存在一对一对应关系。

任何可数集的子集都是可数的。

可数无限集也称为可列集。有限集或可列集称为可数集。例如，非负偶数集是可数无限的。

此外，我们将可数无限集的基数表示为 ℵ₀（读作“aleph-naught”或“aleph-null”，其中 aleph 是希伯来字母表中的一个字母）。

假设集合 A 与自然数集具有相同的基数，即 |A| = |N|。那么 |A| = |N| = ℵ₀。因此，任何可数无限集的基数都是 ℵ₀。以下集合的基数是 ℵ₀：

• 偶数集
• 平方数、立方数或 n 次幂数集
• 素数集等。

不可数无限集

非可数集称为不可数无限集或不可列集，或简称不可数集。

示例：小于 1 的所有正实数组成的集合 R，它们可以表示为小数形式 0.a₁,a₂,a₃..... 其中 aᵢ 是一个整数，满足 0 ≤ aᵢ ≤ 9。

不可数无限集有许多特征。其中一些列出如下：

• 如果集合既不是有限的，也不是等于自然数基数 ℵ₀（aleph-null）。
• 给定的集合的基数严格大于 ℵ₀。

不可数集的例子是所有实数集。更抽象的不可数集例子是所有可数序数集。

现在，让我们看一些计算集合基数的问题。

问题 1 - 假设有两个集合 A 和 B，其中 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 且 B = {2, 4, 6, 8}。求集合 A 的基数、A ∪ B 的基数、A ∩ B 的基数？

解 - A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 6, 8}

显然，集合 A 的基数是 6，因为集合 A 中有六个元素。

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {2, 4, 6, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {2, 4, 6, 8} = {2, 4, 6}

因此，A ∪ B 的基数是 7，A ∩ B 的基数是 3。

问题 2 - 集合 M = {0} 和 N = {} 的基数是多少？

解 - 集合 M 包含一个元素，因此集合 M 的基数是 1。另一方面，集合 N 是空集，如上所述，空集的基数是 0。