如何计算平方根？

在本文中，我们将讨论如何计算平方根。

首先，理解什么是平方根。数字的平方根被定义为一个值，该值乘以自身可得到原始数字。

如果一个数字的平方是 x，那么这个数字的平方根就是乘以自身的那个数字。例如，625 的平方根是 25。如果我们把 25 乘以两次，我们得到 625。对于这样的数字，找到平方根很容易，但对于 3、5、7 等不完全平方数，找到平方根就很棘手了。

数学上，一个数字的平方根可以表示为 y = √a，其中 'y' 等于 a 的平方根，a 是任何自然数。它也可以表示为 y² = a。

“√”符号称为“根号”，用于表示数字的根。它下面的数字或表达式称为被开方数。

性质

平方根的性质如下：

• 两个平方根的值可以相乘，例如，如果我们把 √2 和 √3 相乘，我们会得到 √6。
• 如果一个数字是完全平方数，那么它就存在一个完全平方根。
• 如果一个数字的个位数是 2、3、7 或 8，也就是说，如果这些数字出现在数字的个位上，那么它就不存在完全平方根。
• 任何负数的平方根都是未定义的。
• 如果一个数字的个位数是 1、4、5、6 或 9，也就是说，如果这些数字出现在数字的个位上，那么相应的数字将有平方根。
• 将两个平方根相乘，结果应该是一个根式数。例如，如果 √7 乘以 √7，得到的结果将是 7。
• 如果一个数字以偶数个零（0's）结尾，那么相应的数字可以有平方根。

如何找到平方根

有多种方法可以计算数字的平方根。以下是一些方法：

• 质因数分解法
• 长除法
• 数轴法
• 重复减法法
• 平均法
• 猜测和验证法

要计算任何数字的平方根，首先，我们必须确定该数字是完全平方数还是不完全平方数。如果给定的数字是完全平方数（例如 4、9、16、25、36、49、81 等），我们可以使用质因数分解法来计算平方根。

但是，如果给定的数字是不完全平方数（例如 11、13、14、15 等），那么我们必须使用长除法来计算平方根。

现在，让我们来理解计算平方根的方法。

用质因数分解法计算平方根

计算完全平方数的平方根很容易。下面是一些计算一些完全平方数平方根的例子：

如上所示，我们可以用质因数分解法计算完全平方数的平方根。

用重复减法法计算平方根

此方法也用于找到完全平方数的平方根。在此方法中，我们必须连续地将数字（需要计算其平方根的数字）减去连续的奇数，直到差为零。

减法的次数就是数字的平方根。

让我们通过一些例子来理解它。

示例 1： 假设我们要找到 25 的平方根，这是一个完全平方数。那么使用重复减法法计算 25 的平方根的过程如下：

25 - 1 = 24
24 - 3 = 21
21 - 5 = 16
16 - 7 = 9
9 - 9 = 0
所以，减法次数是 5。因此，25 的平方根是 5。

示例 2：假设我们要找到 16 的平方根，这是一个完全平方数。那么使用重复减法法计算 16 的平方根的过程如下：

16 - 1 = 15
15 - 3 = 12
12 - 5 = 7
7 - 7 = 0
所以，减法次数是 4。因此，16 的平方根是 4。

这种方法很简单，但对于大数字来说比较冗长。对于大数字，这种方法很耗时，因为需要多个步骤。

用平均法计算平方根

这种方法可以用来计算小数点后几位的整数的平方根。在此方法中，使用平均概念来找到给定小数的平方根。现在让我们通过一些例子来理解它。

示例： 用平均法求 5 的平方根。

解决方案： 使用平均法计算 5 的平方根的过程如下：

步骤 1： 首先，我们必须检查小于 5 的最接近的完全平方数和大于 5 的完全平方数。所以，在这种情况下，大于 5 的完全平方数是 9，小于 5 的最接近的完全平方数是 4。

步骤 2： 现在，我们必须写出这两个数字的完全平方数的平方根。所以，
√4 = 2，和
√9 = 3

步骤 3： 数字 5 介于 4 和 9 之间，所以很清楚 5 的平方根将介于 4 的平方根（即 2）和 9 的平方根（即 3）之间。
2² < 5 < 3²
或者，2 < 5 的平方根 < 3

步骤 4： 现在，将 5 除以 2。所以，

5/2 = 2.5

步骤 5： 现在，找到第 4 步中商和除数的平均值。这里，除数是 2，商是 2.5。

所以，(2 + 2.5)/2 = 4.5/2 = 2.25

检查 2.25 的平方是否等于 5。

所以，2.25 * 2.25 = 5.062。如果这对您来说足够准确，那么您可以停止。否则，您可以重复步骤 4 和 5。

值 2.25 非常接近 5 的平方根，所以我们可以选择它。

用猜测和验证法计算平方根

在此方法中，通过找到给定数字所在的平方数来确定数字的平方根。在这里，使用试错法来确定平方根。现在，让我们通过一个例子来理解它。

示例： 用猜测和验证法求 7 的平方根。

解决方案： 用猜测和验证法计算 7 的平方根的过程如下：

数字 7 介于两个平方数 4 和 9 之间，其中 4 的平方根是 2，9 的平方根是 3。因此，7 的平方根将在 2 和 3 之间。

让我们假设 7 的平方根是 2.5，那么
2.5 x 2.5 = 6.25，它小于 7。

假设 7 的平方根是 2.6，那么
2.6 x 2.6 = 6.76，它也小于 7。

现在，取 7 的平方根为 2.7，那么
2.7 x 2.7 = 7.29，它大于 7。

所以，从上面的计算和结果可以清楚地看出，7 的平方根将在 2.6 和 2.7 之间。
所以，让我们假设 7 的平方根是 2.65，
2.65 x 2.65 = 7.022，约等于 7。
因此，从上面的计算可以看出，7 的平方根约等于 2.65。我们可以继续这个过程以获得期望的结果。

用长除法计算平方根

求不完全平方数的平方根有点棘手。长除法可以用来计算不完全数的平方根。长除法有点冗长但很简单。它是求平方根最合适的方法。

示例 1： 用长除法求 529 的平方根。

解决方案： 求 529 的平方根的分步过程如下：

步骤 1： 首先，从右侧或数字的个位开始，将条形符号放在数字的成对数字之上。例如，如果给定的数字有 3 位数，即奇数，那么我们也必须在最左边的数字上放置条形符号。例如：如果数字是 7469，那么它将写成 74 69。在我们的例子中，529 将写成 5 29，如下所示：

步骤 2： 在第二步中，我们必须选择一个最大的数字作为除数，该数字的平方小于或等于最左边的数字。最左边的数字被视为被除数，我们必须进行除法并写下商。

在这种情况下，2 是除数，5 是被除数，商是 2，余数是 1。

步骤 3： 在此步骤中，我们将条形符号下的数字带下来，并将其放在余数的右侧。在这种情况下，我们必须带下 29，现在 29 是我们的新被除数。

步骤 4： 现在，在此步骤中，我们将商的值加倍，新的值将是我们的下一个除数。我们必须将此值与右侧的空白区域一起写出。过程如下：

步骤 5： 在此步骤中，我们必须取 4 后面的一个数字，形成一个两位数，当这个两位数乘以所取的数字时，其乘积小于新的被除数。我们可以通过一个例子来理解。假设如果我们取数字 3，那么新数字将是 43。现在，43 将是除数，当它乘以所取的数字 3 时，我们将得到 43 x 3 = 129，它等于给定的被除数。

因为余数是 0，而且我们没有剩余的数字可以进行除法。所以，529 的平方根是 23。为了更清楚地理解，让我们看另一个例子。

示例 2： 用长除法求 2025 的平方根。

解决方案： 在此示例中，我们不陈述任何步骤，而是直接展示问题的过程。

所以余数是 0，我们没有剩余的数字可以进行除法。所以，2025 的平方根是 45。

1 到 15 的平方和平方根值

我们展示了 1 到 15 的数字的平方和平方根的值。这些值如下表所示：